t. to t

Таким образом, для того чтобы Цл: (t) \\ <оо, необходимо иметь \ Ofk (t, to)\ <.оо для всех возможных /, k и для всех и t, следовательно, Ф (t, h) II < сю для всех to и t.

Кроме того, если мы рассмотрим специальное начальное условие х (to) = = О и специальный входной сигнал и (f), который равен О для каждой компоненты, исключая k-ю, где

U;,{t) = signO jk{t,x), t

и если компоненты Ф/ {t, %) таковы, что 1 \Фjk {t, %)\йх = оо, то справед-

ливо следующее соотношение: t t

со = J IФ-, (t, x)\dx=\ Ф,., (t, %) sign Ф;, (t,x)dx\ Xi (t) I Vnj X it) 11.

to to

Следовательно, для того, чтобы х (/) < оо, необходимо иметь 11 Ф,к (i, т) I <: оо для любого /, k, а поэтому необходимо выполнять

условия (11.18).

Чтобы понять, что из условия 2) следует условие 3), определим константы b и с в неравенствах (11.17) и (11.18) следующим образом *:

IIФ (t, х)IIdx = max Ф (х, to)Цт = с< оо; (11.20)

to А

тахФ(,/о) = &<оо. (11.21)

t, to

Кроме того, найдем последовательность чисел (п = О, 1, 2, . . .) по формуле

& = шax(-o) Ф(f,fo), п=0, 1,2...; t>to, (11.22)

t, to

где из неравенства (11.21) видно, что bo = b.

Так как Ф (t, to) = Ф (t, х) Ф (т, to) для всех to, t и х, то

bn = шахn\{t- T) -i IIФ(t, to)\\dx .

* to

max n j (/ - T) -i IIФ it,x) \\ \\ Ф (x, to) \\ dx nb ic.

to to

Таким образом, имеем

й <ctibn iQc?n(n - 1)& 2 c nlbo = c nlb

или, используя выражение (11.22), найдем

( -о) Ф(о)<с п!&.

* Правильнее использовать операцию sup [ ], обозначающую наименьшую верхнюю границу величины, но мы предпочитаем использовать операцию max [ ]. Для обычных проблем управления обе операции тождественны.

Выберем а >> О таким, чтобы ас < 1, тогда

1 -ас

И условие 3)-выполняется при М =

Для того чтобы показать, что из условия 3) следует условие 4), учтем, что при и (/) = О справедливо неравенство

IIX (t) И IIФ {t, to) il IIX {to) II Me-- IIX (to) I

Для любого e >. о можно выбрать такое б , при котором удовле-

творяется требование асимптотической устойчивости в целом (см. определение 5.16). Так как б не зависит от о. то здесь имеем равномерную асимптотическую устойчивость в целом.

Для того чтобы показать, что из условия 4) следует условие 3), учтем, что при б для любого р. и соответствующего Т из § 5.6 для всех справедливо неравенство

IIX{to + ЛII IIФ (0 + Т, to) IIIIX {to)IIIIФ (0 + Г, о) 1 б р, (И.23)

где б не зависит от to-

Следовательно, для всех /о и п = 1, 2, 3, . . . можно написать

или, учитывая, что

Ф(/о + пГ, о + (и-1)Г) =

Ф(1, t,)0{t У = Ф(,/з),

запишем

Ф(о + пГ, /о)-

П Ф{to+kT,to + {k-l)T)

/г=1

Дф(/ 4-Г,/о+(-1)Л(--) - (11.24)

Если выбрать М я а такими, что -у = М ехр (-аТ) япТ = t ъ неравенстве (11.24), то получим соотношение (11.19), которое является условием 3) теоремы 11.2. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что из условия 3) следует условие 2), а из условия 2) - условие 1).

11.3. ПРАКТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ - УСТОЙЧИВОСТЬ в МАЛОМ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ВХОДНОМ И ВЫХОДНОМ СИГНАЛАХ

Аналогично устойчивости в малом существует устойчивость в малом при ограниченных входном и выходном сигналах. Как и в случае устойчивости в малом, область приложений этого вида устойчивости ограничена, но тем не менее его легко установить, поскольку доказана соответствующая тео-

рема. В работах [68], [133] для этого вида устойчивости было дано довольно неудачное название общей устойчивости *. Рассмотрим .систему следующего вида:

X = f{x,t)g(x,t); x{to) = Xo; f{0,t) = О для всех t>to. 1

(11.25)

Заметим, что если функция g не зависит от лг, то ее можно рассматривать как входной сигнал для системы, изображенной на рис. 11.2а. Если g есть функция как от лг, так и от t, то она может включать компоненты нежелаемых возмущений, которые поступают во внутренние точки контура управления, как показано на рис. 11.26.

jvi Объект 1/ управления

Попехи h(t)

Регулятор

Объект упрадпения

7>

Рис. 11.2: а) Система, описьшаемая уравнением (11.25), в которой g не зависит от jc; б) Система, описываемая уравнением (11.25), в которой g

зависит отх

Если g (х, t) = О в уравнении (11.25), то говорят, что система является невозмущенной. Заметим, что невозмущенная система должна иметь состояние равновесия л: = 0.

Определение 11.1. Состояние равновесия л: = О невозмущенной системы X = f (х, t) является практически устойчивым, если для любого 8 > О могут быть найдены два положительных числа (е) и бг (е) такие, что решение х {t) возмущенной системы (11.25) обеспечивает \\x{t)\\<ZE для t;> to при условии, что ЦлгоЦ <6i и \\g (лг, О I <2-

Понятие устойчивости, данное в определении 11.1, есть устойчивость в малом, так как в нем утверждается, что выходной сигнал может быть удержан в произвольно малой окрестности О при условии, что входной сигнал и начальные условия считаются малыми. Однако последнее определение не дает способа для нахождения точной оценки степени малости. Оказывается, что большой класс систем управления с обратной связью и устойчивой линейной частью объединяет практически устойчивые системы.

Рассмотрим класс систем с обратной связью, удовлетворяющих уравнениям вида

x{t) = Ait)x(t)-\-u{x,t),

u{x.t) = h{x{t),t) + r{t) (11.26)

или в эквивалентной им форме

x{t) = Ф it, to) X {to) +\Ф{t,x)u (X, X) dx;

u(x,t) = h{x{t),t) + r{t).

(11.27)

Cm. сноску на стр. 304 (Прим. ред.).