Вообще говоря, если в процессе проектирования предусматривается применение методов синтеза во временной области, то требуемый объем вычислений быстро увеличивается с ростом порядка системы, и существует граница, выше которой применять указанный подход нецелесообразно. Если же решение ищется частотными методами, то вычислительные трудности увеличиваются значительно медленнее с ростом порядка системы, и поэтому систему высокого порядка следует изучать, используя частотные методы.

В инженерной практике метод эквивалентных частотных характеристик всегда играл важную роль при оценке качественной картины решения. Однако недавно был разработан целый ряд методов получения точного реше-ния нелинейной задачи в частотной области, в основу которых положен оригинальный результат В. М. Попова, изложенный в гл. 10 и 11. Необходимо

Входной сигнал

Выходной Входной

сигнал сигнал

Нелинейная часть

Линейная часть

Выходной сигнал

а) 6)

Рис. 1.1. Схемы систем управления с линейными элементами:

а - блок-схема; б - структурная схема

отметить, ЧТО такой подход имеет традиционные преимущества над методами, оперирующими во временной области, а именно: простоту использования, отсутствие вычислительных трудностей даже для систем-высокого порядка и, наконец, удобство понимания существа задачи.

У читателя может возникнуть вопрос: почему же анализ нелинейных систем развивается столь медленно? Ответ заключается в том, что существует слишком много случаев, когда нелинейная система ведет себя не так, как надо . Перечислим некоторые из них.

1. Неограниченность реакции на конечн.ом интервале времени. Выходной сигнал неустойчивой линейной системы неограниченно растет, когда время стремится к бесконечности, в то время как в нелинейной системе выходная реакция может стремиться к бесконечности на конечном интервале. Нетрудно видеть, что выходной сигнал системы, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка вида л; = с начальным условием х (0) = х, будет стремиться к бесконечности при - .

2. Состояние равновесия в нелинейных системах. Выходной сигнал устойчивой линейной системы в отсутстдии входного воздействия неизбежно стремится к нулю. Э.то совсем не обязательно для нелинейных систем. Например, триггер имеет лишь одно устойчивое состояние независимо от начальных условий. Можно привести пример, когда существует целая зона равновесных состояний, и система может находиться в любом из них.

3. Предельный цикл. Для того чтобы в линейной стационарной системе существовали незатухающие колебания, пара полюсов должна-располагаться на мнимой оси. Амплитуда колебаний в этом случае определяется начальными условиями. В нелинейных системах колебания имеют определенную амплитуду и частоту независимо от начальных условий.

Такие колебания характеризуют предельный цикл. Следует отметить, что устойчивые колебания всегда связаны с предельным циклом.

4. Субгармонические, гармонические или почти периодические колебания при гармоническОм входном сигнале. В устойчивой линейной системе синусоидальный входной сигнал определяет выходной сигнал той же частоты. Поведение нелинейной системы при синусоидальном входном сигнале может быть совершеннд иным. Поскольку на выходе нелинейного элемента могут иметь место дополнительные гармоники, то частота выходного сигнала кратна частоте входного. Иногда в таких системах возникают субгармонические колебания, когда периОд выходного сигнала кратен периоду входного (т. е. частота сигнала на выходе во много раз ниже частоты сигнала на входе). Еще больший интерес представляет возможность возникновения в некоторых нелинейных системах почти периодических движений при синусоидальном сигнале на входе.

5. Неоднозначность поведения. В некоторых нелинейных системах при отсутствии входного воздействия выходной сигнал в зависимости от начальных условий стремится к одному или нескольким устойчивым состояниям, или к предельному циклу. Кроме того, в системе может существовать несколько предельных циклов. Для систем, на входе которых действует гармонический сигнал, выходной сигнал может представлять гармонические, субгармонические либо почти периодические колебания в зависимости от амплитуды и частоты входного сигнала. Неоднозначность поведения проявляется также за счет явлений, указанных в пунктах 6-8.

6. Скачкообразный резонанс. В некоторых нелинейных системах при периодическом входном сигнале, когда амплитуда и частота этого сигнала плавно изменяются, на выходе наблюдается скачок амплитуды. Такое явление называется явлением скачкообразного резонанса.

7. Синхронизация, или явление захвата частоты. Когда нелинейная система управляется синусоидальным входным сигналом малой амплитуды, на выходе возникают колебания кратной частоты. При увеличении входного сигнала существует момент, когда частота выходного сигнала скачком уменьшается до частоты входного. Это явление используется, например, в телевизионных приемниках.

8. Скачкообразный резонанс по амплитуде и частоте. В нелинейных системах может наблюдаться явление скачкообразного изменения как амплитуды, так и частоты выходного сигнала.

1.3. УСТОЙЧИВОСТЬ и ОПТИМАЛЬНОСТЬ

Очень часто поведение системы описывается тшъ двумя словами: система устойчива. Устойчивость системы означает, что малые изменения входного сигнала, начальных условий или параметров системы не приводят-к значительным отклонениям выходной координаты. Вообще говоря, это минимальное требование, которому должна удовлетворять система.

Устойчивость линейных стационарных систем определяется и анализируется сравнительно просто. Существующие для этих целей критерии устойчивости Рауса и Гурвица обеспечивают не только необходимые, но и достаточные условия устойчивости. Если линейная стационарная система удовлетворяет условиям устойчивости, то это означает, что, во-первых, при отсутствии входного сигнала выходной стремится к нулю независимо от величины начальных условий и, во-вторых, когда вход системы ограничен, то выходная реакция также ограничена.

В нелинейных системах может быть несколько равновесных состояний и наблюдаются другие необычные явления, поэтому понятие устойчивости-

для них определяется не так просто. Более того, устойчивость при наличии или отсутствии выходного сигнала - это два совершенно различных понятия. Поскольку устойчивость - почти всегда необходимая предпосылка для получения желаемого качества процессов управления, то всю первую часть книги мы посвятим изучению этого свойства.

Определив, исходя из условий устойчивости, возможный диапазон изменения параметров, можно затем улучшить-качество системы в известных прСт делах. При этом возникает совершенно новая область исследований, к которой относятся оптимальные системы. Данному направлению будет посвящена большая часть второй половины книги. Основная масса пригодных для практики результатов получена в области оптимального управления линейными стационарными системами при относительно простом условии - ограниченности управляющего сигнала. Был предложен ряд вычислительных, алгоритмов для отыскания особых решений в системах более общего вида, но эффективность этих методов еще полностью не оценена.

Оптимальные системы полезны и в том отношении, что они определяют эталон, по которому следует сравнивать проектируемые системы. Такое сравнение позволяет инженеру наметить правильные пути улучшения предлагаемой системы. Во второй части книги делается попытка дать справедливую оценку значимости и состоянию развития оптимальных систем управления.

1.4. СИСТЕМЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА

Современному инженеру приходится иметь дело с системами, для описания которых необходимо вводить сотни и тысячи переменных. Иногда стремятся показать, что анализ сложных систем можно проводить теми же методами, которые развиты для простых систем. Это неверно, так как анализ систем высокого порядка вызывает дополнительные осложнения, возникновение которых почти невозможно предвидеть, когда анализируются, лишь системы низкого порядка. Таким образом, проблема размерности проявляется в большей степени, чем это представляется на первый вЗгл:д.

Именно необходимость рассчитывать системы высокого порядка определяет два подхода: академический и инженерный. Академический подход сводится к тому, что действительные объекты заменяются моделями, описываемыми уравнениями низкого порядка. Однако часто оказывается, что таким образом спроектированная система неидентична действительной. И все-таки при том ограниченном запасе методов, которыми мы располагаем, системь! высокого порядка рассчитывать можно и притом успешно. По крайней мере, если существо метода найдено правильно, то анализ систем высокого порядка зачастую становится возможным. В этом-то и заключается -инженерный подход.

Рассмотрим указанный вопрос применительно к вадачам, затронутым в книге. Прежде всего хорошо известно, что проблема устойчивости всегда вызывает споры, а дать точное определение устойчивости для сложной системы еще труднее. В распоряжении у инженера имеется много точных методов, основанных на втором методе Ляпунова и методе В. М. Попова, которые дают возможность оценить степень устойчивости во многих простых задачах. Здесь долг инженера - приблизить точные результаты к тем, которые можно получить, используя приближенные методы (например, к результатам, которые найдены с помощью метода гармонической линеаризации). А на-практике инженер может испробовать различные приближенные методы так, как это сделано в гл. 6.