= Qb +

Перепишем уравнение (9.22) в матричной форме: V{x, е) = -

(9.23)

(9.24)

Для того чтобы матрица V была отрицательно определенной, матрица С -g]

.должна быть положительно определенной.

Применяя теоремуприложения I, сделаем вывод, что для положительной определенности матрицы Р достаточно, чтобы определитель матрицы Р был положительным, поскольку матрица С, по условию, является положительно определенной. Введем матрицу

О 0 1

G(P)

определитель которой положителен, где О - нулевой вектор п измерений.

Отсюда следует, что определитель произведения RP также должен быть положительным, т. е.

/ -c-g

f(e)

С(Р)

\RP\ =

>0

или

h>gC-g.

(9.25)

Рис. 9.6: a) Структурная схема системы непрямого регулирования, где в состав внутреннего контура входит исполнительный орган; Н (s), как правило, определяет передаточную

функцию интегратора Я (s) = 1/s б) Структурная схема рис. 9.6а преобразована к виду, удобному при решении задачи Лурье. Указанное преобразование выполнено для случая Я (р) = 1/р

Соотношение (9.25) есть неравенство Лефшеца [П8]. Это условие вместе -с условием положительной определенности матрицы С гарантирует, что функция V вида (9.19) есть функция Ляпунова. Если в дополнение к этому вьшолняется условие

Иш /(z)dz = oo,

(9.26)

оо, а по теореме (9.7) система уравнений

то У оо, когда II л: II + е (9.18) абсолютно устойчива*.

Пример 9. П. Рассмотрим систему, структурная схема которой показана на рис. 9.66.

-Пусть G (р) = -. ~ .-=г- . Используя методику Лефшеца, определим наименьшее зна-1Р -г № + о)

чение й, гарантирующее абсолютную устойчивость системы, если матрица С диагональная.

* Ла-Ссаль показал [П6], что условие (9.26) не является необходимьш для абсолютной устойчивости.

Уравнение системы в канонической форме при заданной передаточной функции G (s> запишем в виде

-2 О О -3

f(e). e=4x,-3x2~hf(e);

пусть

а О О PJ

, а. Р > 0.

а также Q = Iqij], i, / = 1, 2;. из уравнения AQ QA = - С получим

-4911 -5912

откуда

Поскольку

g=Qb +- =

a -1

3 \2

, (4-4)

h>

Выберем величины аир так, чтобы минимизировать правую часть полученного неравенства при условии а > О, Р > 0. Простым вычислением (см. также гл. 13) определим, что значения а = 8 и р = 9 обеспечивают минимум правой части, равный 2, и, следовательно, h> 2.

к анализу нестационарных систем*

Если для анализа нестационарной системы использовать функцию Ляпунова, не зависящую от времени, то ее производная, вычисленная с учетом уравнений системы, все равно окажется-функцией времени. Безусловно, и для нестационарной функции Ляпунова ее производная V также зависит от времени. Иногда может оказаться, что нестационарная функция Ляпунова более приемлема, поскольку позволяет проще выявить условия устойчивости.

В связи с появлением временного аргумента в выражениях для V и, возможно, в выражениях для V следует видоизменить формулировки теорем. Эти изменения связаны с ограничением функций V к V некоторыми функциями, не зависящими от времени.

Для того чтобы нестационарная скалярная функция была положительно определенной, потребуем, чтобы выполнялось следующее определение.

См. работы [98], [122], [130].

Определение 9.2. Нестационарная скалярная функция V (х, t) является положительно определенной в области содержащей начало координат, если V (О, ) = О и

V{x, О (IIл: II), (9.27)

где Ф{г) - непрерывная возрастающая * функция такая, что Ф (0) = 0. Изучим свободную систему вида

. x = f{x, t), (9.28а)

где /(О, 0 = 0 для всех t. (9.286)

Производная по времени от скалярной функции У{х, t), взятая с учетом уравнений (9.28), равна

dV (X, t) \} dV f , 4. , dV , . j.r f i dV

-llwM 0 + f = (gradW-ff. (9.29)

Сформулируем следующие теоремы. Теорема 9.9. Если для системы (9.28):

1) существует определенно положительная скалярная функция V {х, t), имеющая непрерывные первые производные по переменным л: и в некоторой окрестности М начала координат;

2) в этой же области определена ее производная V {х, t) < О, то начало координат системы (9.28) устойчиво.

Теорема 9.10. Если существует положительная, возможно, неубываю-ш,ая скалярная функция 6 (z) одной переменной, такая, что в дополнение к условию 1) теоремы 9.9 выполняется в области условие:

3) V{x, )-6 (II л; 11), (9.30)

то начало координат системы (9.28) эквиасимптотически устойчиво.

Теорема 9.11. Если существует непрерывная, строго возрастающая функция одной переменной р (z), такая, что р (0) = О, и, в дополнение к условиям 1) и 3) теорем (9.9) и (9.10), выполняется в области М для всех t условие:

4) V{x, )р(л:), J9.31)

то начало координат системы (9.28) равномерно асимптотически устойчиво.

Теорема 9.12. Если условия 1), 3) и 4) в приведенных выше теоремах выполняются во всей области фазового пространства системы (9.28) и

5) функция Ф (IIX Ф(1л:)->оо при \\х

I) в уравнении (9.27) удовлетворяет условию

....

то начало координат системы (9.28) равномерно эквиасимптотически устойчиво в целом.

Теорема 9.13. Если область М отождествляется со всем фазовым пространством системы (9.28) и выполняются условия 1), 3), 4) и 5) предыдущих теорем, а также в дополнение к ним условие:

6) функция р (II л: II) в неравенстве (9.31) такова, что р ( л: ) -> оо, когда II л: II - оо.

* Функция Ф (г) называется возрастающей, если для двух произвольных точек и Zg таких, что Z2> 2i, выполняется Ф (Zg) >-Ф (г{).