Получите для этой системы уравнения состояния и постройте соответствующую структурную схему прохождения сигналов в случае:

а) канонических уравнений состояния;

б) уравнений состояния, полученных методом простых дробей;

в) уравнений состояния в нормальной форме.

2.5. Управляемая при помощи аэродинамических рулей ракета движется в вертикальной плоскости (рис. 2.15). Для малых величин угла атаки а и угла отклонения рулевой поверхности линеаризованные уравнения состояния имеют вид *

а = (О -

QCta mV

Линия местного горизонта

UN--

QCNa QCn6 g

Руль ракеты

Рис. 2.15. Ракета, рассматриваемая в упражнении 2.5

Первое уравнение определяет угловую скорость со; второе уравнение представляет сумму всех членов, вызывающих угловое ускорение; третье уравнение соответствует всем силам, перпендикулярным к вектору скорости. Величины J, /п и У, которые представляют состветственно момент инерции относительно оси тангажа, массу и скорость ракеты, а также тягу Т и скоростной напор Q, предполагаются постоянными. Динамические коэффициенты Ста, СтЪг Сма, Сл/6, Сса И Cl6 также ПОСТОЯННЫ. Величина Ял представляет поперечное ускорение ракеты, выраженное в единицах g.

Читателю предлагается:

а) получить передаточную функцию G (р), связывающую вход б (f) с выходом (0;

б) по результатам пункта а) написать уравнения состояния в нормальной форме;

в) по результатам пункта а) написать уравнения состояния в канонической форме. В задаче используются следующие обозначения:

Ст mg

а =

(Сл/а - Cta) -

Ста Т

и предполагается, что Смб= Cl6-

2.6. Докажите, что для матрицы А, записанной в нормальной форме [см. (2.32) ], характеристическое уравнение (2.48) имеет вид

7,п+%п-1 L Н-----U

Со Со йо

Со Со

2.7. При помощи первого метода выведите уравнения состояния простого маятника, состоящего из массы т, сосредоточенной на конце невесомой нити длиной /.

2.8. Найдите уравнения состояния схемы, состоящей из источника напряжения е {t) с параллельно подключенными к немусопротивлением, емкостью и индуктивностью. Решите задачу, предполагая, что:

а) сопротивление, емкость и индуктивность постоянны и имеют соответственно значения г ом; с фарад и / генри;

б) емкость и сопротивление переменны и имеют соответственно значения с {t) фарад; г {t) ом. Индуктивность / генри остается постоянной.

Вывод этих уравнений приведен в гл. 5.

2.9. Для системы, представленной в виде

+ 15. = - + 24-2 .

используя все описанные в § 2.5 способы, получите уравнения состояния, в которые не входили бы в явной форме производные от и {t). 2.10. Рассмотрите систему

где М (р) - полином третьей степени относительно р с постоянными коэффициентами:

а) выберите переменные- состояния таким образом, чтобы матрица А приняла жорда-нову каноническую форму;

б) наложите условия на М (р), при которых в каждом случае один элемент hjk жорда-новой матрицы Aj [см. (2.36)] исчезает. При каких условиях исчезает больше одного элемента hip

r(t)

О

e(t)

f(e)

u(t)-f[e(t)]

n(t)

Рис. 2.16. Структурная схема нелинейной системы, рассматриваемой в упражнении 2.11

2.11. Получите уравнения состояния для нелинейной системы, показанной на рис.2.16, где п (t) - шумовая помеха, / (е) - нелинейная функция, связывающая и {t) с е (t).

2.12. Линеаризованные уравнения движения искусственного спутника Земли относительно осей крена и рыскания, как известно, связаны между собой и имеют следующий вид:

JA + 4fi2(Js - J2) ©1 + (Ji - + J,) = 1 (f);

. jje + (Js - + fi (7з ~ - J2) el = 2 (0,

где Ji, J2 R Jg-- моменты инерции спутника относительно осей крена, рыскания и тангажа соответственно; fi - орбитальная угловая скорость спутника; 61 и 62 малые углы отклонения соответственно по крену и рысканию; Ui и 2 - управляющие моменты вокруг осей крена и рыскания соответственно;

- а) покажите, что при Jl > J2 неуправляемая система не имеет собственных зна-

чений в правой полуплоскости;

б) найдите простой способ развязки движений по крену и рысканию при помощи линейных обратных связей по соответствующим переменньм состояния.

2.12. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Материал настоящей главы более подробно, рассматривается в работах [39], [151], [182], [188] и [206]. Первые четыре книги яёляются хорошими вводными курсами по способу переменных состояния. В них имеется большое число примеров и упражнений. Последняя книга характеризуется более строгим и полным рассмотрением теории линейных систем. В ней содержится немало положений, дающих повод для размышления и тем, кто полагает, что теорию линейных систем знает в совершенстве.

ГЛАВА 3

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

Одно из преимуществ векторно-матричного представления уравнений вида (2.5) или (2.8) заключается в том, что состояние системы можно представлять в п-мерном эвклидовом пространстве, где п - порядок системы (число переменных состояния). Это пространство будем называть пространством состояний системы. При возрастании независимой переменной (времени) можно ожидать, что изображающая точка системы опишет в пространстве состояний траекторию, принадлежащую семейству решений системы дифференциальных уравнений. Наше знакомство с линейными системами позволяет далее ожидать, что траектория будет зависеть от вида (предыстории) входного сигнала и от начальных условий. Для большинства физических систем можно ожидать, что траектория будет единственной. Другими словами, один и тот же входной сигнал, действующий на систему при одинаковых начальных условиях, вызывает одну и ту же реакцию. Однако другим входным сигналам будут соответствовать другие решения.

Глава начинается с введения терминологии и определений, необходимых для описания динамики системы через переменные состояния. Затем рассматриваются вопросы существования и единственности, решений этих уравнений. Далее анализируются линейные системы, определяются решения этих уравнений; вводятся очень важные понятия управляемости и наблюдаемости. В заключении главы показано, как можно использовать понятие присоединенной системы уравнений для анализа одного класса линейных систем.

3.1. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Как уже отмечалось, векторы х-а у представляют соответственно состояние и выходной сигнал объекта. Вектор и - управляющая функция. Порядок или число степеней свободы системы обозначаются через п; это наинизший порядок дифференциального уравнения, которым может быть описана динамика системы.

Каждое состояние системы удобно представлять в виде соответствующей точки в я-мерном евклидовом пространстве. Координатами этого пространства служат величины Xi, Xg, . . ., Это пространство мы будем называть пространством состояний системы. Нулевое состояние х,- = О, / = 1, . . ., п будем рассматривать как начало пространства состояний или просто как начало. Такое состояние будет представляться нулевым вектором 0.

* Строго математически следует проводить различие между состоянием системы и координатами пространства состояний, в котором представляется траектория состояний. Поэтому некоторые авторы обозначают эти величины разными символами. Однако авторы настоящей книги полагают, что поскольку на это обстоятельство обращено внимание читателя, путаницы не будет и при одинаковых обозначениях.