сигнала). Этот параметр затем выбирается таким образом, чтобы минимизировать величину промаха в момент перехвата.

Однако при составлении контура необходимо учитывать факторы, связанные с обеспечением устойчивости. Очень часто контур наведения описанного выше типа становится все менее устойчивым по мере приближения ракеты к цели из-за того, что чувствительность системы к маневру цели монотонно возрастает при приближении ракеты к цели.

Заметим, что на современном этапе ни теория устойчивости, ни теория оптимального управления еще не в состоянии обеспечить решение описанного выше класса задач. В дальнейшем степень сложности систем управления может еще больше повыситься. Поэтому-возможно создание, например, обучающихся или самонастраивающихся контуров управления.

17.5. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В настоящее время оптимальное управление определяется совокупностью математических теорем. Применимость их к большинству современных задач управления не является очевидной.

Однако в ряде случаев теория оптимального управления может способствовать лучшему пониманию реально существующих систем.

В тех случаях, когда задача отвечает требованиям реальной системы, но слишком трудна для-решения аналитическим путем, можно прибегнуть к численным решениям с использованием вычислительных машин. Этот аспект применения теории управления рассматривается в § 17.1.

Даже в том случае, когда задача отвечает требованиям реальной системы, очень часто оказывается неясным, какой критерий .качества следует использовать. Это обусловливает необходимость изучения взаимозависимостей между различными факторами. В § 17.2 эта задача рассматривается на примере, приводимом Нельсоном.

Очень часто схема оптимального управления непосредственно не может быть использована из-за чувствительности и других факторов, но вместе с тем желательно каким-либо образом обеспечить квазиоптимальные характеристики. В таких случаях знания, полученные при изучении систем оптимального управления, часто позволяют нам рассчитать квазиоптимальные системы, которые по своим качествам превосходят классические. В .§ 17.3 приведен пример квазиоптимальной системы.

Однако существует много систем, которыетрудно анализировать на основе существующей теории. Это указывает на то, что в отношении этих систем существующая теория отстает от практики. В § 17.4 указан класс систем, которые до сих пор не поддаются анализу.

17.6. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Основной литературой по методу наискорейшего спуска являются работы [103] и [28]. В первой из них используется метод функции штрафов. В работе [38] применяется метод наискорейшего спуска к задачам с ограничениями типа неравенств.

Метод второй вариации рассматривается в работах [25], [105] и [110].

Обобщенный метод Ньютона-Рафсона был впервые освещен в работе [101] и использован для решения систем дифференциальных уравнений в работах [105] и [136]. § 17.2 основан на результатах работы [147].

Материал, рассмотренный в § 17.3 и § 17.4> изложен авторами на основе своих неопубликованных работ.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

ОБЫЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И МОДИФИЦИРОВАННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ С ОПЕРЕЖЕНИЕМ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ I ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ*

1.1. Предварительные сведения

Матрица размера п У. т представляет собой упорядоченное расположение пт величин в виде прямоугольника с п строками и т столбцами. Матрица, элемент которой в51-й строке и у-ом столбце представляет собой ац, записывается в виде [ау],Таким образом.

вц 18 21 22

(1.1)

П1 пг 0.fifn i Произведение п X т определяет порядок матрицы.

Результат транспонирования матрицы А, обозначаемый через А, представляет собой матрицу, полученную путем перестановки строк и столбцов матрицы А. Для приведенной выше матрицы А транспонированная матрица имеет вид

П1 П2

(1.2)

im 2m flnm J Таким образом, это матрица размера т X п.

1.2. Типы матриц

Матрицу размера п X 1 называют вектором-столбцом или просто вектором х. Результатом транспонирования подобной матрицы является матрица размера 1 X п, называемая вектором-строкой. Матрица размера 1 X 1 является скаляром (а).

Матрицу, в которой число строк равно числу столбцов, называют квадратной матрицей. Квадратная матрица размера п X п имеет порядок п. Многие матричные операции определены только для квадратной матрицы.

Элементы г == 1.....п квадратной матрицы размера пХп называют диагональными элементами; остальные элементы, характеризуемые ац с 1ф1 (i, / == 1, . - ., п), известны как недиагональные элементы.

Сумму диагональных элементов квадратной матрицы Л называют следом матрицы А и обозначают через Тг (А).

Квадратная матрица, все недиагональные элементы которой равняются нулю, называется

диагональной матрицей. Диагональную матрицу с ац = С(, i= 1.....п обозначают иногда

как diag (с, . . ., е ).

Диагональная матрица, все диагональные .элементы которой равны единице (т. е. матрица diag (1, 1, . . ., 1)), известна как единичная матрица. Она обозначается символом I.

Матрицу, все эле*1енты которой равны нулю, называют нулевой матрицей и обозначают через 0.

* К числу основных работ по теории матриц относятся [54], [56], [74], [159].