Раздел П ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ в МАЛОМ

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПРИ ДВУХЧАСТОТНОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ, КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СЕРВОМЕХАНИЗМЫ

ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ в БОЛЬШОМ И ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА И ЕГО РАЗВИТИЕ

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

. ГЛАВА 5 . .

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ В МАЛОМ

5.1. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

Понятие устойчивости наиболее просто ввести для случая стационарных линейных систем. При этом удается сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости (например, критерий Рауса и Гурвица). В таких системах единственным положением равновесия будет начало координат, если выполняются следующие два условия: характеристическое уравнение системы не имеет полюсов с нулевой действительной частью, а входной сигнал равен нулю.

Тогда можно дать два эквивалентных условия устойчивости (неустойчивости) начала координат системы:

1. Система устойчива (неустойчива) при отсутствии входного сигнала, если при произвольных начальных условиях фазовые траектории стремятся к началу координат (уходят в бесконечность).

2. Система устойчива (неустойчива) при ограниченном входном сигнале, если выходной сигнал ограничен (не ограничен).

Первое условие определяет поведение свободной системы в переходном процессу; второе - поведение системы, когда входной сигнал не равен нулю. Оба условия устойчивости эквивалентны для линейных стационарных систем, и если инженер ограничивается рассмотрением лишь таких систем, то приведенных сведений об устойчивости ему вполне достаточно.

В нелинейных системах такой простой связи между этими двумя типами устойчивости нет, так как свободное движение системы может существенно отличаться от вынужденного.

Пример 5.1. Рассмотрим нелинейную систему первого порядка, описываемую уравнением вида

где а>- о (предлагается самостоятельно убедиться, что эта система нелинейна). При ы (Q s О система устойчива. Однако, если и {t) Ф О, то всякий раз, как только управление и (t) становится равным 1, X (t) стремится к бесконечности; если и (t) - постоянная величина, ббльшая единицы, то реакция также не ограничена. Следовательно, нельзя гарантировать ограниченность реакции при ограниченном управлении.

Можно предположить, что вопрос об устойчивости будет решен более эффективно в рамках первого определения. И действительно, в этом направлении получено много интересных результатов; поэтому в дальнейшем будем придерживаться определения устойчивости, данного для свободной системы. Однако и в этом случае при анализе нелинейных систем возникают трудности. Например, система, описываемая уравнением Ван-дер-Поля, неустойчива в малом относительно положении равновесия, но при этом всякое дви-

жение со временем переходит в предельный цикл. Если амплитуда предельного цикла оказывается малой, то такое поведение системы при больших сигналах оказывается приемлемым. Таким образом, система, неустойчивая при малых отклонениях от положения равновесия, практически устойчива, когда эти отклонения становятся значительными.

Теперь несколько слов о нелинейных системах, имеющих множество состояний равновесия. Может случиться, что все траектории движения выходят из одного положения равновесия и часть этих траекторий заканчивается в другом положении равновесия. Такое поведение можно наблюдать при последовательном соединении элемента с отрицательным сопротивлением и осциллятора.

Подведем некоторые итоги в наших рассуждениях.

Во-первых, в отличие от линейных систем для нелинейных систем следует говорить об устойчивости относительно положения равновесия, а не об устойчивости вообще. Во-вторых, даже для свободной системы информация об устойчивости, полученная лишь из анализа фазовых траекторий вблизи положения равновесия, может оказаться недостаточной для суждения об устойчивости во всем фазовом пространстве. Другими словами, устойчивость Б малом еще не определяет устойчивости во всем фазовом пространстве, и эти две задачи следует изучать раздельно. В-третьих,даже при анализе устойчивости в малом следует различать две возможности: либо все траектории системы никогда не покидают некоторой определенной окрестности положения равновесия, либо все траектории асимптотически приближаются к рассматриваемому положению равновесия.

В этой и следующей главах мы обсудим каждую из перечисленных выше возможностей более подробно.

5.2 УСТОЙЧИВОСТЬ В МАЛОМ (УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ) АВТОНОМНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Понятие устойчивости, введенное русским математиком А. М. Ляпуновым, устанавливает, что свободное движение системы ограничено в определенном смысле. Мы рассмотрим это свойство применительно к автономной системе *.

Пусть в фазовом пространстве е-окрестность положения равновесия задается п-мерной сферой Цл: - Xe\<i- Говорят, что положение равновесия устойчиво (или устойчиво в малом), если система, начиная движение из произвольной б-окрестности (обычно малой), все время остается внутри некоторой е-окрестности. Иными словами, состояние равновесия устойчиво, если при малых возмущениях от этого положения последующее движение происходит в некоторой окрестности, размеры которой зависят только от величины возмущения. Более строго: пусть х ~ х - начальное состояние системы в момент t = t, тогда справедливо следующее определение.

Определение 5.1. Устойчивость по Ляпунову [130].

Состояние равновесия автономной динамической системы устойчиво (в смысле Ляпунова), если для любого е >> О существует б > О, зависящее лишь от е, и при этом из условия лго - ле < б следует, что х (t; Хо) - Хе\\ <СЕ для всех t >> to-

Попробуем придать этому определению конструктивную форму. Инженеру для того, чтобы проанализировать устойчивость системы в смысле

* Вид устойчивости, обсуждаемый в этом параграфе, может наблюдаться в произвольной свободной системе, но наиболее характерен такой тип устойчивости для автономных систем. См. § 5.6.