при некоторых условиях указанную выше функцию управления можно найти путем взятия обычной функции Гамильтона и нахождения таких *,; V*, чтобы

Я* = min max Я. ..

Однако условия, необходимые для того, чтобы приведенное соЬтношение было справедливым, не являются тривиальными и здесь не будут излагаться К.

Можно отметить, что минимаксная и другие точки зрения, связанные с упомянутым здесь классом задач, исходят из теории игр.

14.8. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Принцип максимума Понтрягина позволяет точно и ясно решать большой класс задач оптимального управления.

Благодаря геометрическому понятию достижимого множества, задачи-оптимизации дифференциальных систем можно достаточно просто решить с помощью принципа максимума. Более того, при этом необходимо использовать только сильные вариации. Таким образом, принцип максимума имеет целый ряд преимуществ перед классическим методом вариационного исчисления. Краткость изложения принципа максимума и универсальность его формулировки в значительной мере облегчают постановку большого класса задач оптимального управления.

Теорема 14.3 формулирует принцип максимума как необходимое условие оптимальности. Теорема 14.4 указывает ряд условий, при которых принцип максимума является достаточным условием оптимальности. Из примера 14.2 видно преимущество принципа максимума по сравнению с методами классического вариационного исчисления. В § 14.6 и § 14.7 указано достаточно много классов задач, применительно к которым можно использовать принцип максимума. Доказательство принципа приведено в § 14.5.

Классическое вариационное исчисление имеет преимущество перед принципом максимума в теории второй вариации, в отношении которой принцип максимума не обеспечивает соответствующего эквивалента. Вторая вариация будет рассмотрена в гл. 16 и 17.

14.9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

14.1. Найдите линии переключения для задачи оптимального по быстродействию управления системой примера 14.1, если:

а) -Vsu<U, U>V>0.

б) I (О I но объект описывается уравнением х -\- Ьх-\- сх.= и; 6, с > О и 6 - - 4с<;0 (колебательный объект управления);

в) в условиях пункта б) 6 <С 0. .

14.2. Объясните, почему вектор rj в § 14.1 и § 14.2 представляет собой начальный вектор,-я)? (У, тогда как в § 14.5 он оказывается конечным сопряженным вектором я)? (а)-

14.3. Для управляемого объекта с передаточной функцией в виде двойного интегрирующего звена при и (О I 1 найдите кривую переключения для оптимального по быстродействию движения объекта из начальной точки к единичной окружности с центром в начале координат, а также к единичному квадрату лг 1; 1.

14.4. Повторите упражнение 14.3 для объекта из примера 14.1. i

14.5. Используя принцип максимума, найдите кривые переключения для оптимального по быстродействию перевода системы

= Ь и,;

лга = -+ и,

1) Библиографию по вопросам дифференциальных игр см. в работе [6].

из произвольной точки JC (0) в начало координат, если ( i(I;U2l2. Укажите полярность управлений и, и для различных областей пространства состояний, отделенных кривыми переключений.

14.6. Решите задачу из упражнений 13.10 с помощью принципа максимума. Найдите сопряженные уравнения и оптимальное управление ы* {t). Рассмотрите возможность неединственного решения или решения, отличного от релейного.

14.7. Найдите условие трансверсальности для задачи оптимального управления, в которой система *JC=/(jc, и), двигаясь из точки jc (iJ = х должна достигнуть конечного состояния jCa за минимальный отрезок времени с учетом ограничения м 1 £/.

14.8. Докажите справедливость уравнений (14.78а>и (14.786).

14.9. Постройте достижимые множества С (t), начиная с произвольного состояния jCi, при I ы (О I I. если объект описьшается уравнением

а) х~ и; J

б) X + х= и. Сделайте это для случая t= I, t= я, t= 5.

14.10. Используя результаты упражнения 14.9, графически решите задачу минимизации критерия Р = 1 % (Г) I + I лга (Г) для начального состояния jc (0) = IZ4 и конечного времени Т= I.

Сделайте это для каждого объекта из упражнения 14.9.

14.11. Завершите пример 14.7 для случаев: а) Х2= Т=1;

6)Х2=Щ,Т=2.

14.12. Угловые скорости движения спутника с одной осью симметрии определяются из уравнений

Юа - ЛюШз = Ыа; Юз = Из,

где l i(01; l a из(У1.

Определите гамильтониан системы, канонические уравнения, оптимальную функцию управления и* (t) и условия трансверсальности для задачи оптимального по быстродействию торможения спутника от скорости ю (0) до 0.

Повторите то же самое для задачи оптимальной по расходу топлива, если торможение от скорости (В (0) до О происходит за отрезок времени Г> f*.

14.13. Сформулируйте задачу Цермело (упражнение 13.14), используя принцип максимума. Найдите решение, когда величины f, и являются постоянными. Повторите для случая, когда fl (х Ха, t) = -kx, А> О и /а (Xi, х, t) = 0; постройте оптимальную траекторию при 1/= 1, А= I и jcS= [3, -I] и jc= [О, 0].

14.14. Докажите уравнение (14.53).

14.15. Найдите управление в системе с обратной связью в форме и (х), минимизирующее

функционал f =\ ф {f) dt. Система имеет вид = ах-\- Ьи, где а, 6 и Т-фиксированные по-

ложительные постоянные. Найдите оптимальную траекторию и величину f*.

14.16. До сих пор рассматривались лишь задачи оптимального по быстродействию управления объектами без учета динамических свойств числителя передаточной функции объекта (т. е. рассматривались объекты без нулей). Для случая управления стационарным объектом с учетом динамики числителя, описываемого операторным уравнением

(p + a){p+b)y{f)={p + c){p+d)u{f);\u{f)\\,

покажите, что:

а) для оптимального по быстродействию перевода системы из произвольной точки у (0), у (0) в точку у = О, V = О справедливо релейное управление в интервале 0< i< t* при a + b+cd; Р

б) для удержания уяуъ начале координат при t* требуется ненулевое управление u(f);

в) не всегда можно найти и (t) для удержания у и у в начале координат при ft*, а также решите задачу Для частного случая: а= b = 0; с = 1; rf = 3; указание: используйте преобразование (см. § 2.5), чтобы получить систему уравнений, в которых не содержатся про-

изводные от и (f). Покажите, что при использовании этого преобразования конечное состояние у=0;у=0 переходит в некоторое множество конечных состояний относительно новых переменных.

14.10. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Методы и результаты, приведенные в § 14.1 и § 14.2, заимствованы из работ [15] и [117] (см. также [185]).

Результаты работы над принципом максимума, которую провели Понтрягин и др., подытожены в отлично написанной книге [162]. Однако доказательство принципа максимума в работе [162] значительно отличается от доказательства, приведенного в работе [69], и использованного в данной книге.

Меньшая математическая строгость, по сравнению с работами [162] и [69], присуща работе [171 ], в которой также излагается принцип максимума. Кроме того, многочисленные примерные и дополнительные приемы можно найти в работе [8].

Геометрическая трактовка принципа максимума содержится в работе [123].

Некоторое представление о тех трудностях, с которыми связано использование принципа максимума для определения линий переключения в системах третьего и четвертого порядка, можно получить, например, из работ [53] и [173]. В работе [33] освещается принцип максимума применительно к линейным системам с запаздыванием.

Общий обзор результатов исследования проблемы оптимального управления по состоянию на 1965 г. дан в работе [6], в которой также приведена обширная библиография.