Мы встречаемся с большими трудностями при рассмотрении линейных стационарных систем с комплексными полюсами ). В этом случае, даже в предположении о справедливости гипотезы релейного управления, метод обратного отсчета времени неприменим. Более того, из простых физических соображений видно, что условие п - 1 переключений при этом не выполняются.

Пример 12.3. Рассмотрим оптимальное управление объектсш второго порядка без демпфирования, удовлетворяющего уравнению х + х = и где к (/) t/. Предположим также, что движение начинается из начала координат и происходит с обратным отсчетом времени (как и в предыдущем примере). При и (f) = Ц-U видно, что траектория системы описывает окружность Г+ на плоскости и х: с центром в точке Хе = U. При u(f)= -U траектория системы также представляет окружность с центром в точке Хе = -U. Из этого построения видно следующее:

1. Верхняя и нижняя Г половины не являются кривыми переключения, поскольку при хЪ О управление и (f) = -U и при x<ZO, u{f) = +U.

2. Нижняя кривая Г+ и верхняя Г должны составлять участки оптимальной траектории согласно теореме единственности.

3. Если для системы при постоянном управляющем сигнале производная х периодически изменяет знак, то и (f) также должно периодически менять знак.

4. В колебательных системах число переключений зависит от величины U и может быть произвольным.

Итак, используя эти условия, можно построить оптимальную траекторию при выполнении гипотезы о релейном управлении (см. пример 12.3). Однако, как это будет показано в гл. 15, принцип максимума и метод Ла-Салля позволяют это выполнить гораздо проще, не делая никаких допущений.

- 12.5. ЗАДАЧИ, ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО РАСХОДУ ТОПЛИВА g

Оптимальные задачи управления по расходу топлива с использованием функционала (12.3) оказываются более трудными, чем задачи оптимального управления по быстродействию. В этих задачах возможно не единственное решение. Кроме того,.бывает трудно определить и само решение. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие эти положения.

Пример 12.4. Пусть у объекта х = и имеются следующие ограничения на управление: I ы (О I - Необходимо найти такое и (f), которое переводит объект из точки с координатой д: = 1 в точку с X = 2 за 5 сек и обеспечивает минимум следующего функционала:

\u{t)\dt.

.0.-

Из рассмотрения этой задачи видно, что она имеет бесчисленное множество решений так как приращение Ах выражается в зиде

= u(t)dt., . (12.28)

Действительно, когда и (f) не изменяет своего знака, то любое управление, удовлетворя-

ющее I W (О I и приводящее к Ах = и (f) di= 1, является оптимальным управлением.

Если и {f) изменяет знак, то каждое последующее управление сводит на нет результат предыдущего, и, следовательно, такое управление неприемлемо. При релейном управлении система оптимальна, когда и {t) = включено в течение 1 сек и равно О в оставшееся время. Так как 1 сек работы может иметь место в любой момент времени в интервале 5 сек, то такое оптимальное управление не является единственным. Для более ясного понимания задач, оптимальных по расходу топлива, рассмотрим более сложный пример.

) Такие системы впервые были исследованы Бушау [29] в предположении, что выполняется гипотеза релейного управления.

пример 12.5. Пусть объект описывается уравнением х= и, гце\и (t) 1. Задача регулятора - перевести объект из произвольной точки в начало координат за время Т, обеспечив при этом минимум функционала

\u{f)\dt.

В приведенной задаче важную роль имеет верхний предел функционала. Если Т меньше где соответствует минимально возможному времени достижения начала координат из точки JCo, то решения задачи не существует. Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось

условие Т Р. Кроме этого, время Т должно быть ограничено. Функционал вида ы I,

как это показано в гл. 4, лишен смысла при некоторых начальных условиях. Далее, если к и x - координаты фазовой плоскости, то даже при ы () = О изображающая точка из положения jCo в четвертом квадранте будет перемещаться по горизонтали налево, а во втором квадранте - направо. Пусть изображающая точка JCo расположена на положительной части оси х. Для ее перемещения в начало координат необходимо приложить малое отрицательное управление и (t). Тогда изображающая точка будет двигаться под осью к началу координат с бесконечно малой скоростью. Когда она достигнет точки ниже начала координат, необходимо создать бесконечно малое приращение и (t) в положительном направлении, чтобы изображающая точка попала в начало координат. Расход топлива в этом случае, очевидно, может быть сколь угодно малым.

Приведенные выше примеры лишены практического смысла, но позволяют понять, как правильно выбрать величину 7 . Однако даже когда Г выбрано, то совершенно не ясно, как фор- Рис. 12.6. Оптимальная мируется оптимальная управляющая функция. Из эвристиче- по расходу топлива траек-ских соображений следует, что при <С 2 < о<з оптимальное тория движения объекта управление и {t) состоит из следующей последовательности; управления (пример 12.5) включено, выключено и включено с другим знаком. Введение

в функцию управления интервала и (t) = О дает возможность системе двигаться в правильном направлении, когда она находится в определенных квадрантах. Действительно, обратимся к рис. 12.6. Здесь Хд соответствует координате, находящейся в первой четверти, а управление u{f) = -и действует в течение сек, далее управление равно О в течение сек, и, наконец, оно становится равным +1! ъ течение сек. Полное время движения Т= Т-]--\- ТЛ- Tg. Из этого рассмотрения видно, что существует единственная последовательность Ту, 72 и Tg, которая удовлетворяет условиям поставленной задачи ).

Можно также показать, что предлагаемая функция управления выгоднее, чем любая другая (см. упражнение 12.4). Однако при иных начальных условиях могут существовать и другие управляющие функции (см. упражнение 12.5). Вообще говоря, трудно доказать, чта предлагаемое решение задачи является наилучшим. Однако, используя принцип максимуме, можно преодолеть данное затруднение.

12.6. НЕКОТОРЫЕ. ДРУГИЕ ТИПЫ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Нами было показано, что метод непосредственного решения дифферен-ниальных уравнений становится все менее полезным по мере того, как мы переходим от задач, связанных с минимизацией интеграла от квадрата, к задачам оптимального быстродействия и оптимального расхода топлива. Можно также показать, что существуют и такие задачи управления, когда все имеющиеся до сих пор в нашем распоряжении средства решения не позволяют даже подойти к нахождению оптимального управления. Рассмотрим ряд задач, полученных в результате незначительного обобщения предыдущих задач.

1) Заметим, что при управлении и = +U изображающая точка должна двигаться по линии переключения Г+, соответствующей задаче оптимального быстродействия.

Пример 12,6. РассюЬтрим снова оптимальное по быстродействию управление для

объекта -g-. Пусть и* (f) ограничено и (f) t/ и должно переводить систему из любого

начального состояния за заданное время Т<С t* при условии минимизации расстояния IIJC (Т) - О . При такой постановке задачи совершенно не ясно, является ли релейное управление оптимальным. С этого вопроса и следует начинать наше исследование.

Пример 12.7. Допустим, что объект, описанный в примере 12.6, при тех же ограничениях на и (t) перемещается из точки jc (t,) в точку jc (2) таким образом, чтобы минимизиро-

вался функционал (х\ +х1-\- t?) dt. Эта задача достаточно тесно связана с задачей, рас-

сматриваемой в § 12.2, но имеет дваотличия: первое: - в новой задаче и (f) ограниченно и второе - время конечно. Последнее и позволяет говорить о произвольном конечном состоянии системы JC (t. Данная система нелинейная, поэтому методы, приведенные в § 12.2, применять нельзя. Кроме того, функция и* (f) не обязательно должна быть релейной.

Отметим, что в этой главе круг задач ограничивался только оптимальным управлением линейными объектами. Если объект нелинеен, то возникают дополнительные трудности. В гл. 13 будет показано, что при решении таких задач значительную помощь оказывают идеи вариационного исчисления.

12.7. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Критерии качества систем управления не всегда удается выразить в математической форме. Если же это оказалось возможным, то следует применить методы современной теории оптимального управления, чтобы синтезировать наилучшее управление, удовлетворяющее заданному критерию качества.

Некоторые общие формулировки задач оптимального управления указаны в § 12.1. Методы линейного управления и все другие, изложенные выше, совершенно неприемлемы для решения задач, сформулированных в § 12.1. Единственным исключением являются линейные стационарные системы при условии минимизации среднеквадратической ошибки (на полубесконечном интервале времени), изучаемые в § 12.2 на основе частотных методов. Любые изменения в постановке данной задачи делают этот метод неприемлемым. Задачи управления по быстродействию или минимуму расхода топлива представляют собой краевые задачи с закрепленными концами. Решение оптимальной задачи состоит из двух этапов: а) нахождение семейства решений, удовлетворяющих краевым условиям и наложенным ограничениям; б) выделение оптимального управления из полученных решений.

Следует сразу же заметить, что для линейного объекта можно отыскать решение в общем виде, как это сделано в § 12.5.

Для линейного стационарного объекта задачи оптимизации решаются без введения новых методов при условии, что принят довольно простой критерий качества. В § 12.4 й 12.5 обсуждаются основные положения синтеза оптимальных управлений по быстродействию и расходу топлива. Синтез выполняется в предположении о справедливости ряда гипотез.

Необходимость в новых методах синтеза оптимального управления становится все более очевидной по мере изменения постановки задач оптимизации. Последнее показано в § 12.6.

12.8. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

12.1. Рассмотрим систему первого порядка, описываемую уравнением х = g {х) + и, где \ и (f) \ и и \ g (х) и, а g (х) - непрерывная функция х. Для этой системы:

а) покажите, что релейное управление наилучшее для всех начальных и конечных состояний, если требуется минимизировать время;