Для последовательности {gk} и ее z-преобразования, S (z) l{gk}]< определяемого с помощью (II.5),- уравнения (11.13) при m = О и gft = g (kT+) принимают вид

l{gk-n}]=z~9(z). n = 0, 1, 2. ..,

fl-1

Si [{gk,n]] = zS (2) - S gkz -\ n = 1. 2, 3 . . .

3. Умножение g (t) на e

Из выражения (II.2) следует, что для любого действительного а

[e g (01 = e - т), \z\> е+Р .

(11.14а> (11.14б>

(11.15а>

Из соотношений (II.4) можно получить соответствующее г-преобразование для любой действительной постоянной С и бесконечной последовательности {gk}-

(11.156)

4. Аналитичность

.Аналитичность S (z, ш), уже рассмотренная в § II.3, приводит к следующему важному свойству:

Ит&(г, ш)= У;(( + *) ) сли 9.(г. т)

(11.16),

является аналитической в г 1.

Это свойство вытекает из того, что любую функцию, которая является аналитической в I г I 1, всегда можно однозначно разложить в степенной ряд с убывающими степенями z .

Свойство (II. 16) используется для получения выражений в замкнутом виде для некоторых бесконечных рядов с помощью таблиц модифицированного z-преобразования с опережением (см. гл. 8).

5. Свертка в действительной области

Рассмотрим следующие выражения обычного z-преобразования и модифицированного z-преобразования с опережением:

S(z,Q)3(z) = Z[f(t)], Izlef ; {z.m) = Z[gm. \z

Ж (z, m) = S[,j [h {t)l I z

Если

h(t) = S/(№ng (;-№),

(z, m) = Sr (z) G (z, m). \z\- e, 0 1, Pft = max(P, Pg),

(II.17a)

(11.176) (11.17b)

что непосредственно следует из уравнений (II.2) и (П.З). В соответствии с уравнением (II.3) при /я = О выражение (П. 17в) принимает вид

(z) = (z)&(z). Izle Pft=max(Pf, Pg). (II.17r

Выражение (II.17r) имеет смысл, когда разложение (11.176) представлено z t = пТ, т. е.

Л(пТ)= S/(Arg((n-fe)r);

(П. 18а)

в обозначениях через последовательности {gk], {fk} nj {hk}, определяемые соотношением (II.4a):

hn= Hfkgn-k.

(11.186)

Выражения (11.18) представляют собой свертки, а соотношение (11.17г) аналогично преобразованию Лапласа свертки временных функций. Свертки типа выражений (11.176) и (11.18) играют важную роль в дискретных системах управления. Это будет рассмотрено ниже, в § 11.5 и II.6.

6. Свертка в комплексной области

Рассмотрим произведение

P{f)= tit+gd+vT), ?оЗ:0, vO. (II.19a)

При использовании выражений (II.2), (П.З), (II.7) и (II.9) получим {z) = [nt-hXT)g{t+W)] =

. , =2(1. v),(--, )g-rf.l.>e(f+) ; [(11.196)

() = wI(t )(- )- (11.19b)

где \z\ e f и \ z\ - e представляют собой области, в которых ff (г, т) = [/(f)\ и (г, /я) = \g {t) ] являются аналитическими, а Cg и Су обозначают соответственно

любые пути интегрирования в направлении против часовой стрелки в области ? > е

7. Соотношения для начальных значений Из выражений (П.2) и (П.З) следует

. g(mT*) = liras (Z, т);

g(0*)iim9(z).

(11.20)

8. Асимптотическое поведение

На основе § П.З можно показать, что если S (z т) является аналитической в области 2 I 1, то

nmg{{m + k)f*) = 0. (11.21)

Кроме того, можно показать, что если S (z, m) не является аналитической в области г1>>1 и S (z, т) имеет полюс в области zl> 1, то получим

1 {(m-\-k)T\-oo для некоторого к. (11.22)*

Как будет показано ниже, эти асимптотические свойства имеют большое значение при изучении линейных дискретных систем.

9. Соотношение для конечных значений

Большое практическое значение имеет не охваченный приведенными вьш1е асимптотическими выражениями случай при котором (z, т) имеет полюс в z = 1. Если (г - 1) S {г, т) является аналитической в области г; 1, то

im(z-l)(z, m) = limg((m + N)T*). (11.23)

zl N-m

Это можно доказать путем рассмотрения модифицированного z-преобразования с опережением для g {t-\- Т) - g {t) (покажите это).

П.5. Модифицированное z-преобразование с опережением и преобразование Лапласа

Часто используемое альтернативное выражение для модифицированного z-преобразова ния с опережением можно получить из соотношения (П.2). Здесь модифицированное z-преобра-зование с опережением можно выразить через преобразование Лапласа.

* Обычно 1 g (т -1- fe) г * оо при со.

Напомним, что g (t), удовлетворяющая неравенству (П.1), имеет преобразование Лапласа G (s), которое является абсолютно сходящимся при Resa. Далее, величина обратная G (s) определяется выражением *

С+/ОЭ

k 1 G(p)dp =

2nj .

с-/со

О, t>0.

где cd.

Предположим теперь, что g (f) непрерывна в точках t = (kт) Т (k = 1, 2, 3, . . .), но не обязательно при t- тТ (m-Q). Подставив выражения (П.24) в формулу П.2 и приняв г= sT, получим

со с-Ь/со

А=0 с-/со

тО, ас< Res.

При этих условиях здесь допустима перестановка знака суммирования и интегрирования-Тогда суммирование под знаком интегрирования даст

= 2 f G{p)- + -[g(mT)-g{mT-). (П.26>

с-/со

[тО, ае< Res. Поэтому соответствующее z-преобразование имеет вид

С+/СО

с-/со

Приведенная выше функция G (s) является аналитической в Resa. Единственными особыми точками подынтегрального выражения (П.26) и (П.27) в этой области являются

простые полюсы в точках р = s -f / , и = О, ± 1, ±2.....Поэтому при использовании

теоремы вычетов [107] для вычисления интегралов в формулах (П.26) и (П.27) получим

(,s., ) Gj(s + /n)e + 4[( r) ( r-)I.(n.28a)-

Res>a, 0m<l

и при m = о будем иметь

(е)=А 2 G(s + / )+-L(g(0). Res>a. (П.28б>

* См. работу [45], стр. 212. ** Для обоснованного использования теоремы вычетов к интегралу в формуле (11.26) необходимо, чтобы О g га < 1.