Эти системы, например, могут описывать линеаризованное движение нелинейной системы относительно некоторой траектории. Напомним, что теорема 5.2 касалась равномерной асимптотической устойчивости систем, описываемых уравнениями вида (11.26) Пользуясь теоремой 11.2, покажем, что равномерная асимптотическая устойчивость и практическая устойчивость для данных систем, равносильны.

Теорема 11.-3 [98]. Допустим, что для системы (11.26) или (11.27) выполняется условие равномерной сходимости

та-О. (11.28)

\\x(t)\\ \\(t)\\

Рассмотрим линейную систему, которая при подстановке h {х (f), t) = О удовлетворяет свойствам 1) -4) теоремы 11.2, тогда:

1) при г (О = О система равномерно асимптотически устойчива;

2) по отношению ко входу г (f) система характеризуется практической устойчивостью.

Доказательство. Для доказательства 1-й части теоремы воспользуемся условием (11.28), которое означает, что для любой константы > О имеется другая константа ag, зависящая от ki, такая, что для всех выполняется неравенство

II h {X(t), t)IIК\\х(t)II, как только х(t)\\ k. (11 29)

При г (О = О в уравнении (11.27) и, пользуясь оценкой (11.28) и условием 3) теоремы 11.2, запишем

IIX (t) II е <-о) =М\\х (to) II + Mie- J е х (т) dr

Wxit to)WeMlx(to)II + Mkx J 1л:(x + to)\\dx.

Применяя лемму Беллмана-Гренвилла (лемма 11.1), получим е x{t to) \\М\\х (to) II t О

л:(/)<Мл:(де-( -л1*1) (-0) tto. (11.30)

По условию теоремы может быть задано произвольно малым по сравнению с числами а и М при \\х (0- 0. Следовательно, для любого б > О можно подобрать б > О такое, что Цл: ( 6, как только Цл: (о) б.

В частности, в качестве 6 можно выбрать б = min (- . где k опреде-

Ct k

лена так, что <-д Для Цл: (о)!--. Так как 6 не зависит от to и

согласно неравенству (11.30) л:(0-О при -оо, равномерно по to и IIX (to) \\, то положение равновесия л:=0 равномерно асимптотически устойчиво.

Вторая часть теоремы 11.3 может быть доказана от противного. Пусть 6 является границей для Цл: (го) и 62 является границей для г (t), тогда для достаточно малых Цл: (о) уравнений (11.27) и (11.29) и условия 3) теоремы 11.2 следует неравенство

IIX (t) II < M6ie- + J il Ф (t, t): IIX (x) II dx + (1 - e- <*-*->)

для tO

lx{t)\\M{ 6i + + kl\\\Ф{t,г)\l\\x{t)dz, t>0. (11.31)

Можно показать, что при достаточно малых 6 и 62 норма Цл: (0 может быть сделана произвольно малой. Так как интеграл в неравенстве (11.31) монотонно возрастает с ростом t, то имеется такое, что

IIX if) II > 2М (б1 + для t и.

(11.32)

Тогда при t = to неравенство (11.32) выполняется. Предположим, однако, что неравенство (11.32) не выполняется для всех t и пусть t есть первый момент, когда Цл: {t)\\ = 2М 8i + ( ) Заметив, что правая часть неравенства (11.31) монотонно возрастает с ростом t, найдем

max ilx{t)\\ = lx(tl)WMUy + MkiWx (t) JЦФ(f, x)dx:

Учитывая, что Ф {t, x) dx = dx = с <oo при любом t t.

имеем

lx{h)\

61 +

1 - Mkjc

(11.33)

Величина Mkc в неравенстве (11.33) может быть сделана сколь угодно малой за счет в интервале [о, У, если Ц г (0 и Цл: (о) II достаточно малы. В этом случае неравенство (11.33) противоречит предположению о том, что условие (11.32) не выполняется. Вторая часть теоремы 11.3 таким образом доказана.

Видимо, можно предположить, что тесная связь между равномерной асимптотической устойчивостью состояния равновесия системы без входного сигнала и практической устойчивостью той же системы с входным сигналом распространяется не только на системы с линейной частью. В действительности верна следующая теорема.

Теорема 11.4. Рассмотрим систему (11.25). Если при g = О начало координат равномерно асимптотически устойчиво, то система практически устойчива.

В свете теоремы 11.3 теорема 11.4, вероятно, справедлива. Однако из-за отсутствия методов отыскания нелинейных систем, которые являются равномерно асимптотически устойчивыми, по-видимому, не существует доказательства, аналогичного предьщущему. Имеется лишь доказательство, использующее функции Ляпунова, основные этапы которого перечислим ниже.

Начнем с того, что в работе Массера [134] было доказано следующее. Если система (11.25), где функция / удовлетворяет локальному условию Липшица, а § = О, равномерно асимптотически устойчива; то существует такая функция Ляпунова, которая удовлетворяет условиям теоремы 9.11. С учетом последнего доказательство завершает следующая лемма, доказанная И. Г. Малкиным [133].

Лемма 11.2. Если для системы (11.25) существует скалярная функция F (л:, f), удовлетворяющая условию теоремы 9.11 при § = О, то состояние равновесия л: = О практически устойчиво.

Для того чтобы доказать лемму 11.2 для произвольного е >> О, следует подобрать 6i и 62. удовлетворяющие условиям практической устойчивости. Из условий леммы следует, что существуют две непрерывные возрастающие функции Ф (z) и р (z) сФ(0) = р (0) = О такие, что функция Ляпунова V (х, t) для системы (11.25) при g = О определяет следующие соотношения:

Ф(л:1)<1/(л:,0<Рл:1); (11.34)

V {X, t) (grad V)./ + - е (II л: ), (11.35)

где 6(z) определенно положительная функция одной переменной. Для выбранной функции V (л:, О и найдем V вдоль траектории (11.25) при g =j= :

V{x,t) = (grauVY{f + g). (11.36)

В отличие от выражения (11.35) в выражении (11.36) присутствует член

(grad Vyg =gi{x,t). (11.37)

Если функции могут быть сделаны достаточно малыми, то ввиду ограничения (11.35) можно всегда выбрать норму ЦлГоЦ такой, что F<0 в соотношении (11.36). Это означает, что V монотонно убывает со временем. Из выражения (11.34) следует, что Цл: (011 ограниченна. Задача заключается в выборе л:о и g достаточно малыми, чтобы удовлетворить обоим приведенным выше требованиям и условию Цл: {t) \ > г. Это всегда можно сделать.

Двумя теоремами, рассмотренными в этом параграфе, ограничивается обсуждение практической устойчивости или устойчивости в малом при ограниченных входном и выходном сигналах. Для устойчивости в целом требуются дальнейшие ограничения *. Полезно обратить внимание (задача 11.17) на то, что даже для стационарных систем нельзя утверждать, что когда исходная невозмущенная система х = f [х) при / (0) s О равномерно асимптотически устойчива в целом, то управляемая система х = f (х) + + и (О устойчива при ограниченных входном и выходном сигналах.

11.4. УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ВХОДНОМ и ВЫХОДНОМ СИГНАЛАХ ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Определим понятие устойчивости в целом при ограниченных входном и выходном сигналах следующим образом.

Определение 11.2. Динамическая система с одним входом и одним выходом устойчива в целом при ограниченных входном и выходном сигналах, если для любого 6j 0 и О найдется такое 6(6, fig) > О, что абсолютная величина выходного сигнала будет ограничена б, как только абсолютная величина входного сигнала и норма начальных условий ограничены константами 6 и 62 соответственно**. Это свойство может быть уста-

* См., например, работу [194], а также § 11.4.

** Заметим различие в той роли, которую играют б, и е в определениях 11.2 и 11.1. Определение 11.2 может быть легко распространено на системы со многими входами и выходами.