Квадратная матрица размера п У. п, все недиагональные элементы которой таковы, что Uij = Uji при i Ф j (i, j = 1, . . ., и), называется симметричной матрицей. Для симметричной матрицы А выполняется равенство А = А.

Если квадратная матрица А в качестве элементов имеет комплексные числа, то ее сопряженная транспонированная матрица, обозначаемая как Л*, представляет собой матрицу, образованную путем замены каждого элемента матрицы А его комплексно сопряженным. Матрица, обладающая свойством А* = А, известна как эрмитова матрица.

Квадратная матрица А, определитель которой А равен нулю, называется особой матрицей. В противном случае она является неособой.

. Определитель квадратной матрицы А представляет собой число, связанное с этой матрицей, и обычно записывается в виде

L1 %/г

Inl- ... Ufin

Определитель [тц] матрицы размера (м - 1) X (и - 1), которая получается при устранении i-й строки и /-го столбца из матрицы А размера п X п, называется минором элемента ац матрицы А. Минор элемента af, умноженный на (-1) , дает алгебраическое дополнение элемента г/.

Величину определителя можйо найти с помощью так называемой формулы разложения Лапласа:

\[aij]\= (-1) * а/[mty] для любого целого числа i, lin;

lta(7]= 2 (~iy~aij \\-ц]\ для любого целого числа /, 1=1

(1.3)*

Так как каждый определитель [miy] в выражении (1.3) можно разложить далее по! формуле Лапласа, то определители любого порядка можно выразить через определители первого и второго порядков.

Определители первого и второго порядков находятся следующим образом:

\а\ = а;

(1.4а) (1.46)

11 12 21 22

Присоединенная матрица к квадратной матрице А, обозначаемая как adj А, получается при замене каждого элемента матрицы А его алгебраическим дополнением с последующим транспонированием.

Пример 1.1. Для матрицы

1 О Г

2 3 1 .0 1 4.

элемент = 2, минор этого элемента представляет собой определитель

браическое дополнение этого элемента будет (- к матрице А имеет вид

= -1, а алге-

= -1-1. Присоединенная матрица

adj А =

и -8 1 4

2--1 3

11 1-3--8 4 1 2 -1 .3

* Величина определителя определяется суммой произведения элементов любой строки или столбца н их алгебраических дополнений; : . . - -;

Определителем А является

= (12 -1)-2(-1)= 13.

1.3. Основные матричные операции

Две матрицы А == [а;/] и Б = [б,-/] равны в том и только в том случае, если их порядки равны и равны их соответствующие элементы, т. е. ац = Ьц- для всех I и /. Когда А к В равны, пишем А = В-

Две матрицы А = [ац] иВ = [bij], порядки которых равны, можно сложить или вычесть,

чтобы в результате получить соответственно новые матрицы С~[сц] и Z? = Ыц]; элементы матриц А, В, С к D связаны между собой следующим образом:

сц = atj + Ьц; (1ц = ац~Ьц. л

(1.5)

При умножении матрицы А = [ац-] на скаляр k получается новая матрица с элементом кац.

Матрицы А я В можно умножить и получить матрицу произведения АВ ~ С в том и только в том случае, если число столбцов А равно числу строк В- В том случае, когда это имеет место, А и В рассматриваются как соответствующие сомножители. Если А имеет размер п У. т, а В имеет размер m X l,w получаемая в результате матрица С = АВ. будет иметь размер пХ I, г элементы

(1.6)

Следует отметить, что если пф I, то произведение ВА не существует. Легко показать, что если даже п= I, то матричное умножение не является коммутативным, так что вообще Л В = ВЛ. Заметим, что для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же размер, что м I, А1= 1Л = А.

Можно также показать, что

Л [adj.A] = M /=[adj.]. (1.7]

Для определения операции, напоминающей деление, требуется понятие обратной квадратной матрицы. Для квадратной матрицы Л, которая является неособой, ее обратная Л определяется отношением

ЛЛ-1 = Л-1Л =/. (1.8)

После предварительного умножения уравнения (1.7) на Л ~ и упрощения можно увидеть, что Л определяется выражением

Л-1 =

adj Л

(1.9)

Кроме того, так как

11

2 -1

-3 1 3

13 О О

О 13 О

8 4 2 -1

-то для этого случая уравнение (1.7) справедливо.

Часто некоторое преимущество при выполнении матричных операций можно получить путем разбиения. Последнее представляет собой процесс разделения матрицы на. П.од-жатрицы. В том случае когда размеры этих матриц совместимы, правила матричной алгебры

непосредственно применимы, если подматрицы рассматривать как элементы матрицы. Так, например, если матрица А размера 9 X 8 и матрица В размера 8X6 записаны в виде

где в А подагатрицы Р, Q, Я я S имеют соответственно размеры 5X6, 5X2, 4X6 и 4 X 2, а в В размеры подматриц К я L составляют 6 X 3, а размеры подматриц М и N равны 2 X 3, то тогда эти подвергнутые разбиению матрицы являются соответствующими относительно умножения, а произведение АВ представляет,собой матрицу ,размера 9X6, которая выражается следующим образом *:

АВ =

L + SN J

(1.10)

Разбиение особенно эффективно, если одна или более подматриц имеют в качестве элементов только нули. Кроме того, разбиение полезно при вычислении обратных величин для больших матриц. При прямом процессе с использованием уравнения (1.7) это вычисление, вероятно, является весьма трудоемким и требует большой затраты времени.

Для иллюстрации можно вывести формулу для обратной матрицы А размера 2п X X 2n, которая при разбиении на четыре матрицы размера п X п принимает вид

DIE .

Пусть имеет вид

л-1 =

где подматрицы также имеют размер п X п. Так как А А = I, получим

BF+CH = In, BG + CJ=0; DF + EH = 0; DG + EJ = In.

где / - единичная матрица размера п X п. Решая уравнения (1.11), найдем

[F={B - CE-D)-; Н = ~EDF; J = (Е-~DB-C)-; G = ~B-CJ; покажите это.

(I.ll)

(1.12)

1.4. Линейная независимость и ранг

Ранг матрицы А размера п X пС определяется как порядок наибольшего квадратного минора, определитель которого не равен нулю. Этот квадратный минор получается путем вычернивания соответствующих строк и столбцов матрицы А.

Можно показать, что ранг матрицы Л,не изменяется при выполнении любой из следующих операций:

1) перестановки двух любых строк или двух столбцов матрицы А;

2) умножения элементов любой строки или столбца на какое-либо число, не равное нулю;

3) -кратного добавления к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

При этом имеет место следующая теорема:

Теорема 1.1. Если из матрицы А размера пХт и ранга l(titnl) выбрать / строк (или столбцов), которые вместе образуют подматрицу ранга /, то тогда любую другую строку (столбец) в А можно всегда выразить в виде линейной комбинации этих / строк (столбцов).

Рассмотрим т векторов: а а, , т. каждый из которых имеет п составляющих п>

> т, если имеется т постоянных: с .....£т, из которых по крайней мере одна не равна

нулю, так что линейная комбинация

с,а, + сф.2 -Ь

<=1

(1.13)

TO тогда tn векторов: а, . . ., называют линейно зависимыми; в противном случае эти векторы считаются линейно независимыми.

* Прн этом необходимо точно придерживаться порядка умножения подматриц.