летворяются тривиально. Некоторые из проявлений вырожденного управления сводятся к следующему:

1) неединственность в решении;

2) нерелейные решения в случаях, когда требуется релейное оптимальное управление;

3) существование в пространстве состояний гиперповерхностей, на которых подынтегральное выражение показателя качества становится точным интегралом.

Важным классом задач, в котором может иметь место вырожденное управление, является класс, когда и входит линейно как в уравнение системы, так и в подынтегральное выражение показателя качества [см. уравнения (16.36) н (16.37)]. Для подобного класса дН/ди] =о для всех i.

В данной главе рассматриваются следующие основные вопросы:

1. В оптимальном по быстродействию управлении линейными стационарными объектами проявлением вырожденности является неединственность оптимального управления. Вырожденность может проявляться в отношении систем, которые не являются L-управляемыми.

2. В случае оптимального по расходу топлива управления линейными стационарными объектами вырожденность также означает неединственность. Вырожденность может проявляться в отношении систем, имеющих одну или -более степеней интегрирования, или систем, которые не являются L-управляемыми,

3. В случае ограниченного по амплитуде управления линейными ста-дионарными объектами, показатель качества которых имеет подыинтеграль-ное выражение, представленное квадратичной формой только от координат состояния (это не касается функции управления), в пространстве состояний могут появиться вырожденные гиперповерхности, на которых оптимальное управление не является релейным.

В § 16.5 показано, каким образом тривиально удовлетворяются раз-.личные необходимые условия в оптимальном управлении.

В § 16.6 приведена полезная проверка оптимальности вырожденного управления [см. уравнение (16.52)].

16.8. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

16.1. Решите следующие задачи минимизации путем использования множителей Лагранжа. Укажите особые случаи, если таковые имеются (ниже используются те же функ-щии / {х Ха) и g (xi, Ха), что и в § 16.1).

а ) f (xj, Х2) = х - 2 (xi + Х2) + 6;

g {Xl, Ха) = (xi + Хг)2 - 4=0;

б) / (i, 2) = 4 + 2xX2 + 4x2;

g (Xl, xa) = sin2 (x2 + y2) 1 = 0;

в) / (Xi, Xa) = (xi - Xz);]

g (xi, Xa) = exp ( X - 3)2 + (j/ - 4)2 - 1 = 0.

16.2. Рассмотрите оптимальное по расходу топлива управление системой р-(р -Ь I) у = и

I и (т) [ dr от какой-либо произвольной точки к началу координат. При Т = 2 найдите

и графически изобразите:

а) достижимую зону С (Т);

б) зоны, в которых имеет место вырожденное управление;

в) зоны, в которых имеет место невырожденное управление.

16.3. Найдите зоны в плоскости состояний для вырожденного управления системой

х, = Зхга + и; х, - -2и

с / = 1 (т) dl и произвольного X (0). Примите w (/) i/. Установите оптимальность о

вырожденного управления.

16.4. Рассмотрите задачу оптимального по расходу топлива управления нестационарным объектом

х, = х; = -а, (t) Xi - Й2 (О + W

от достижимого множества G (Т) к началу координат с учетом w (О I 1- Покажите, что если Й1 (/) = dcg (О /dt, то вырожденное управление может существовать.

16.5. Рассмотрите оптимальное по быстродействию управление (к точке начала координат) объектом

Xi = -2Xi + Ul, Х2 = -Х2 + Ui + 2-

Определите и графически изобразите зоны в плоскости состояний, в которых существуют неединственные решения. Для тех зои, в которых оптимальное решение является единственным, определите последовательность полярности функции оптимального управления.

16.6. Для ракеты-зонда, рассматриваемой в упражнении 13.10, предположите, что желательно максимизировать высоту х (t) в конечный (неуказанный) момент времени Т; покажите для этого случая возможность существования вырожденного управления. Найдите это вырожденное управление и дайте физическое объяснение полученному результату.

16.7. Для искусственного спутника с одной осью симметрии, рассматриваемого в упражнении 14.12, рассмотрите возможность существования вырожденных решений для оптимального, по быстродействию управления от произвольного со (0) к 0:

а) путем рассуждений;

б) математическим путем.

16.8. Повторите упражнение 16.7 применительно к оптимальному по расходу топлива управлению искусственным спутником Земли.

16.9. Метод вторых вариаций, изложенный в § 16.6 для решения некоторых задач космической навигации, можно с успехом испошзовать следующим образом. Оптимальное реше-

. ние X* (f) и к* (f) для какой-либо данной задачи обычно можно найти априори, по крайней мере численно. Однако по целому ряду различных причин космический корабль может отклониться от курса. Предположите, что в момент времени t, космический корабль отклонился от jc* (У иа величину 6jc (<j); задача состоит в том, чтобы найти дискретное оптимальное управление 6н* (6jc, t) при минимизации второй вариации Sf,-

Примите уравнение движения космического корабля ввиде x = f{x, а), обозначьте показатель качества через Р (х {t)) (конечный момент времени t фиксирован); найдите выражение в явном ввде для би (6х, I) путем использования метода второй вариации.

16.9, УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Вырожденные случаи в вариационном исчислении кратко рассматриваются в работе [156] и более детально в книге [19].

Вырожденное управление в задачах оптимального быстродействия было впервые рассмотрено в работе [117]. Хорошей монографией является также книга [8].

Значительное число работ, рассматриваюших задачи с вырожденными управлениями, принадлежит Ч. Д. Джонсону [85]-[87].

Материал, представленный в § 16.6, основан на работе [104]. Проверка с помощью теории второй вариации в общем виде изложена в книге [181].

ГЛАВА 17

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ЕГО ВОЗМОЖНОСТИ .

После детального изучения многих известных положений оптимального управления рассмотрим теперь возможности его практического применения. Нами были рассмотрены линейные стационарные, объекты управления, которые описывались дифференциальными уравнениями первого и второго порядка. Однако на практике редко приходится иметь дело с задачами, связанными с подобными простыми объектами управления, хотя хорошо известны задачи, связанные с оптимальным управлением каскадом таких .линейных объектов небольшого порядка. Большинство встречающихся на практике объектов нелинейны, но при достаточно небольших сигналах их можно рассматривать приближенно как линейные. Нахождение оптимального решения для модели объекта управления, приближенно выражающей действительный объект, позволяет получить квазиоптимальное решение, являющееся достаточно приемлемым.

Для нелинейных или нестационарных объектов управления приходится по существу прибегать к линеаризации системы относительно какой-то известной номинальной траектории и оптимизации этой линеаризованной системы. При этом заранее предполагается выполнение двух условий: 1) линеаризация является оправданной и 2) номинальную траекторию можно найти. Если одно из приведенных условий не удовлетворено, то линеаризация, очевидно, невозможна.

Действительно, некоторые из типичных задач, с которыми приходится сталкиваться в промышленности, на первый взгляд кажутся неразрешимыми. Во-первых, большинство из них трудно поддается оптимизации вследствие отсутствия соответствующего критерия качества. Во-вторых, многие задачи представлены в таком виде, когда входной сигнал и конечные условия для оптимального управления не определены заранее. Кроме того, решения часто .должны представляться в реальном масштабе времени, что исключает возможность использования многих методов.

Если методы оптимизации применять лишь в полном соответствии с теорией, то можно придти к выводу, что на практике оптимальное управление играет незначительную роль. Однако, если к этой теории подходить разумно, то можно использовать целый ряд различных способов для повышения эффективности получаемых результатов.

Во-первых, располагая целым рядом необходимых условий, можно лопробовать применить численные методы для нахождения оптимальных решений, выполнив при этом значительный объем сложных вычислений с помощью вычислительной машины.