сравним теперь выражение (14.34) с формулой (14.16), где й*(0 = sigп[гlф-(, ti)BV.

Из гл. 3 (§ 3.8), следует, что Bii (f) можно написать как BW {t, il) -ф (tl), где W (t, tl) - переходная матрица сопряженной системы. Так как Ф-1 {t, tl) = Ч! (, tl), то имеем также

HФ~Ht,tl)вr = вWit,tl)\

Так как выражение (14.34) и формула (14.16) должны приводить к одинаковым результатам, то из определения функции sign следует, что величины

Начальное условие

4>(t2)

ж=Ах+Ви

=:>

Рис. 14.4. Получение оптимального по быстродействию управления объектом х= Ах-\- Ви в том случае, если бы ф (t была известна, а sign [ВЩ] была определена

В (t) =:BW (t, tl) 4j:(i) viBW{t, i) Tfjобразуют векторы, которые во все моменты времени должны располагаться в одном и том же направлении и могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем. Это значит, что вектор Tfj в начальный момент времени ti совпадает по направлению с сопряженным вектором -ф. Так как величина вектора ij не имеет значения, для Tfj можно выбрать удобный масштаб, так чтобы ij = -ф (ti).

Оптимальную по быстродействию задачу можно свести к задаче нахождения вектора ij; при этом вопрос, по существу, сводящийся к нахождению начального значения оптимального по быстродействию управления для линейного L-управляемого объекта, можно решить, так как значение ф (t) для tl t t полностью определяется решением уравнения -ф = - Лф.

Графическая иллюстрация к этому методу показана на рис. 14.4. Трудность приведенного выше метода заключается в том, что в общем случае * не ясно, как следует приступить к нахождению вектора я]) (ti). Один возможный путь состоит Б том, чтобы попытаться использовать какой-либо топологический подход при условии выполнения принципа максимума и других необходимых условий для того, чтобы определить итерационную процедуру. Некоторые из этих методов рассмотрены в гл. 17.

* Если управляемый объект линейный, то можно иногда найти методом, изложенным в § 12.3.

Если сравнить формулировку теоремы 14.3 с результатами, полученными в гл. 13 с помощью вариационного исчисления, то можно прийти к следующим выводам:

1. Пункт 1) в теореме 14.3 представляет собой, по существу, условие Вейерштрасса, когда используется метод Валентайна, связанный с учетом ограничений типа неравенства, наложенных на управление и (t).

2. Пункт 2) соответствует уравнениям Эйлера-Лагранжа.

3. Пункты 3) и 4) определяют условия трансверсальности для рассматриваемого класса задач.

4. Тот факт, что -ф (t) сохраняется непрерывной, означает, что условие Вейерштрасса-Эрдмана (13.20) также выполняется.

Таким образом, теорема 14.3 содержит в себе почти все известные необходимые условия, выведенные в гл. 13 с помощью вариационного исчисления. Отсюда можно оценить краткость и выразительность данной формулировки.

Принцип максимума легко применим к случаям, когда отсутствуют ограничения, налагаемые на функцию управления и (t). При этом принцип максимума дает результаты, тождественные тем, которые можно получить с помощью классического вариационного исчисления.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 14.2. Рассмотрим оптимальное по быстродействию управление спутником (пример 4.1). В этом случае имеем

следовательно.

= л-2; 2 = м; I ы (О 1 1,

При использовании вариационного исчисления необходимо определить в соответствии с методом Валентайна переменную v ({) и ограничивающее отношение

Z (и, V) = (м (О + 1) (1 - (0) - (t) = 0. В соответствии с правилом множителей Лагранжа показатель качества /2 имеет вид

(2/2 N и

/2 = <2 +

\г=1

dt = t2 +

L,dt,

Li = - Х2) -Ь ф2 (2 - ) + Ч-

Так как dLJdx, = iti; dLJdx, = 0; dLJdx = ipg и dLJex, = -ipi, то уравнения Эйлера-Лагранжа дают

il = 0; 2 = (14-35)

Кроме того, мы имеем dLJdv = -2kv = О и дЬ,/ди = -ipg - 2Ки = О или

Я (f) V* (t) = О (14.36>

-11,2 (t) = 2Я (i) и* (t).

(14.37)

Функции % (t), V (t) и и* (t) можно найти из условия Вейерштрасса, которое указывает, что и* (i) должна в каждый момент времени t доставлять максимальное значение функции Н. Так как в данном случае Н = iiXa + ipa - 1. то. имеем

*(0=sign [iPaWl. (14.38)

Оптимальная функция управления и* (f) будет однозначной при условии, что ipg тождественно не равна нулю.

Из соотношений (14.35) следует, что решения для компонент вектора ip имеют вид

ipi = С = const; 1IJ2 = -Cf + 1IJ2 (0) (14.39)

и ifa не может равняться О, если ifi ф 0. Но условие ifi = ifg s О невозможно, .поскольку из условия трансверсальности (13.70) следует

= (Л-f(u-\) \t=u = 0. (14.40)1)

Из условий (13.87) и (14.40) следует, что Я* = 113X2 + Фг * - 1 s О для всех значений t. Таким образом, видно, что решением поставленной задачи является релейное управление. Кроме того, так как функция в выражении (14.39) может изменить знак только один раз, то релейное управление претерпевает лишь одно переключение. Из выражений (14.37) и (14.38) видно, что к {t)= -(4z)\42 (О I. и, следовательно, из соотношения (14.36) вытекает v (t) s 0.

Вариационное исчисление,-конечно, дает правильный ответ. Но при использовании принципа максимума тот же результат можно получить и без вспомогательных переменных v (t) и Я (f). Для этого сразу же получим

Я = -1 + + tfa . -где i]3i и ifa удовлетворяют уравнениям

ф1 = С1. ф2 = -Ifi +С2 = -Ci -ЬСг.

при ограничении на функцию управления 1 принцип максимума [формулировка 1) теоремы 14.3] сразу же указьшает на то, что решение имеет вид

M*(0=Signlj5a (О-

Следует отметить, что если ifg (О = - ct, то ifg (t) изменяет знак только один раз; таким образом, и* может изменить знак также только один раз.

Из условия (14.25) вытекает, что Н*~0 или ifiXa-f tfa * = 1. поэтому случай lii = ifz = О невозможен.

До сих пор мы отыскивали только форму решения. Как и в примере 14.1, для определения оптимального управления как функции времени необходимо найти начальное значение сопряженного вектора ij) (J, однако это очень не просто сделать.

Можно проанализировать движение системы в обратном времени, используя оптимальное управление и* = sign ijig. Взяв вначале произвольные значения ifi и фз, [т. е. задавшись вектором ij5 (/j) ] и изучая движение в обратном времени, можно действительно получить оптимальное начальное значение Jj (t- для каждой точки, через которую проходит траектория системы. Действительно, если принять т = -t, то вектор ф (т), соответствующий каждой точке х (т), через которую проходит обратная траектория системы, по существу представляет собой вектор ]) (У для начального состояния исходной системы (покажите это). На первый взгляд, этот подход преодолевает трудности, связанные с решением двухточечной краевой задачи. В действительности же мы не можем непосредственно указать величину вектора if (У, чтобы гарантировать, что через данную точку х (t,) проходит единственная траектория.

В случае оптимального по быстродействию управления стационарными линейными объектами, когда управление входит линейно, принцип максимума, по-видимому, всегда приводит к релейному управлению. Но если управление входит нелинейно, т. е. система имеет вид х = Ах + g (и), то решение не обязательно должно быть релейным. Покажем это на следующем примере.

Пример 14.3 1. После выгорания топлива движение ракеты приближенно описывается следующей системой уравнений:

где т - масса ракеты;

а - угол атаки (см. пример 5.5); х и I/ - соответственно горизонтальная и вертикальная координаты ракеты; Cl - постоянная (Ci> 0).

) Уравнение (14.40) подтверждает уравнение (14.25).

) Данный пример предложили Дж. А. Нортон и X. Галкин.