Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

сравним теперь выражение (14.34) с формулой (14.16), где й*(0 = sigп[гlф-(, ti)BV.

Из гл. 3 (§ 3.8), следует, что Bii (f) можно написать как BW {t, il) -ф (tl), где W (t, tl) - переходная матрица сопряженной системы. Так как Ф-1 {t, tl) = Ч! (, tl), то имеем также

HФ~Ht,tl)вr = вWit,tl)\

Так как выражение (14.34) и формула (14.16) должны приводить к одинаковым результатам, то из определения функции sign следует, что величины

Начальное условие

4>(t2)

£

ж=Ах+Ви

=:>

Рис. 14.4. Получение оптимального по быстродействию управления объектом х= Ах-\- Ви в том случае, если бы ф (t была известна, а sign [ВЩ] была определена

В (t) =:BW (t, tl) 4j:(i) viBW{t, i) Tfjобразуют векторы, которые во все моменты времени должны располагаться в одном и том же направлении и могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем. Это значит, что вектор Tfj в начальный момент времени ti совпадает по направлению с сопряженным вектором -ф. Так как величина вектора ij не имеет значения, для Tfj можно выбрать удобный масштаб, так чтобы ij = -ф (ti).

Оптимальную по быстродействию задачу можно свести к задаче нахождения вектора ij; при этом вопрос, по существу, сводящийся к нахождению начального значения оптимального по быстродействию управления для линейного L-управляемого объекта, можно решить, так как значение ф (t) для tl t t полностью определяется решением уравнения -ф = - Лф.

Графическая иллюстрация к этому методу показана на рис. 14.4. Трудность приведенного выше метода заключается в том, что в общем случае * не ясно, как следует приступить к нахождению вектора я]) (ti). Один возможный путь состоит Б том, чтобы попытаться использовать какой-либо топологический подход при условии выполнения принципа максимума и других необходимых условий для того, чтобы определить итерационную процедуру. Некоторые из этих методов рассмотрены в гл. 17.

* Если управляемый объект линейный, то можно иногда найти методом, изложенным в § 12.3.



Если сравнить формулировку теоремы 14.3 с результатами, полученными в гл. 13 с помощью вариационного исчисления, то можно прийти к следующим выводам:

1. Пункт 1) в теореме 14.3 представляет собой, по существу, условие Вейерштрасса, когда используется метод Валентайна, связанный с учетом ограничений типа неравенства, наложенных на управление и (t).

2. Пункт 2) соответствует уравнениям Эйлера-Лагранжа.

3. Пункты 3) и 4) определяют условия трансверсальности для рассматриваемого класса задач.

4. Тот факт, что -ф (t) сохраняется непрерывной, означает, что условие Вейерштрасса-Эрдмана (13.20) также выполняется.

Таким образом, теорема 14.3 содержит в себе почти все известные необходимые условия, выведенные в гл. 13 с помощью вариационного исчисления. Отсюда можно оценить краткость и выразительность данной формулировки.

Принцип максимума легко применим к случаям, когда отсутствуют ограничения, налагаемые на функцию управления и (t). При этом принцип максимума дает результаты, тождественные тем, которые можно получить с помощью классического вариационного исчисления.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 14.2. Рассмотрим оптимальное по быстродействию управление спутником (пример 4.1). В этом случае имеем

следовательно.

= л-2; 2 = м; I ы (О 1 1,

0 г

. ь =

.0 0

При использовании вариационного исчисления необходимо определить в соответствии с методом Валентайна переменную v ({) и ограничивающее отношение

Z (и, V) = (м (О + 1) (1 - (0) - (t) = 0. В соответствии с правилом множителей Лагранжа показатель качества /2 имеет вид

(2/2 N и

/2 = <2 +

\г=1

dt = t2 +

L,dt,

Li = - Х2) -Ь ф2 (2 - ) + Ч-

Так как dLJdx, = iti; dLJdx, = 0; dLJdx = ipg и dLJex, = -ipi, то уравнения Эйлера-Лагранжа дают

il = 0; 2 = (14-35)

Кроме того, мы имеем dLJdv = -2kv = О и дЬ,/ди = -ipg - 2Ки = О или

Я (f) V* (t) = О (14.36>

-11,2 (t) = 2Я (i) и* (t).

(14.37)

Функции % (t), V (t) и и* (t) можно найти из условия Вейерштрасса, которое указывает, что и* (i) должна в каждый момент времени t доставлять максимальное значение функции Н. Так как в данном случае Н = iiXa + ipa - 1. то. имеем

*(0=sign [iPaWl. (14.38)

Оптимальная функция управления и* (f) будет однозначной при условии, что ipg тождественно не равна нулю.

Из соотношений (14.35) следует, что решения для компонент вектора ip имеют вид

ipi = С = const; 1IJ2 = -Cf + 1IJ2 (0) (14.39)



и ifa не может равняться О, если ifi ф 0. Но условие ifi = ifg s О невозможно, .поскольку из условия трансверсальности (13.70) следует

= (Л-f(u-\) \t=u = 0. (14.40)1)

Из условий (13.87) и (14.40) следует, что Я* = 113X2 + Фг * - 1 s О для всех значений t. Таким образом, видно, что решением поставленной задачи является релейное управление. Кроме того, так как функция в выражении (14.39) может изменить знак только один раз, то релейное управление претерпевает лишь одно переключение. Из выражений (14.37) и (14.38) видно, что к {t)= -(4z)\42 (О I. и, следовательно, из соотношения (14.36) вытекает v (t) s 0.

Вариационное исчисление,-конечно, дает правильный ответ. Но при использовании принципа максимума тот же результат можно получить и без вспомогательных переменных v (t) и Я (f). Для этого сразу же получим

Я = -1 + + tfa . -где i]3i и ifa удовлетворяют уравнениям

0 0

1 0.

-фа.

ф1 = С1. ф2 = -Ifi +С2 = -Ci -ЬСг.

при ограничении на функцию управления 1 принцип максимума [формулировка 1) теоремы 14.3] сразу же указьшает на то, что решение имеет вид

M*(0=Signlj5a (О-

Следует отметить, что если ifg (О = - ct, то ifg (t) изменяет знак только один раз; таким образом, и* может изменить знак также только один раз.

Из условия (14.25) вытекает, что Н*~0 или ifiXa-f tfa * = 1. поэтому случай lii = ifz = О невозможен.

До сих пор мы отыскивали только форму решения. Как и в примере 14.1, для определения оптимального управления как функции времени необходимо найти начальное значение сопряженного вектора ij) (J, однако это очень не просто сделать.

Можно проанализировать движение системы в обратном времени, используя оптимальное управление и* = sign ijig. Взяв вначале произвольные значения ifi и фз, [т. е. задавшись вектором ij5 (/j) ] и изучая движение в обратном времени, можно действительно получить оптимальное начальное значение Jj (t- для каждой точки, через которую проходит траектория системы. Действительно, если принять т = -t, то вектор ф (т), соответствующий каждой точке х (т), через которую проходит обратная траектория системы, по существу представляет собой вектор ]) (У для начального состояния исходной системы (покажите это). На первый взгляд, этот подход преодолевает трудности, связанные с решением двухточечной краевой задачи. В действительности же мы не можем непосредственно указать величину вектора if (У, чтобы гарантировать, что через данную точку х (t,) проходит единственная траектория.

В случае оптимального по быстродействию управления стационарными линейными объектами, когда управление входит линейно, принцип максимума, по-видимому, всегда приводит к релейному управлению. Но если управление входит нелинейно, т. е. система имеет вид х = Ах + g (и), то решение не обязательно должно быть релейным. Покажем это на следующем примере.

Пример 14.3 1. После выгорания топлива движение ракеты приближенно описывается следующей системой уравнений:

где т - масса ракеты;

а - угол атаки (см. пример 5.5); х и I/ - соответственно горизонтальная и вертикальная координаты ракеты; Cl - постоянная (Ci> 0).

) Уравнение (14.40) подтверждает уравнение (14.25).

) Данный пример предложили Дж. А. Нортон и X. Галкин.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.