Запишем его в более простой форме:

А(Я,) =

А -и

2С -А - и

(13.496)

где С = diag [с, . . ., с ].

Так как матрицы (l/2d) ЬЬ и 2С являются симметричными и, кроме того, определители исходной и транспонированной матриц равны, то определитель (13.496) можно привести к виду

А-\-и [ЬЬп

-A-i-U

(13.50)

Анализируя определители (13.496) и (13.50), заметим, что если к есть решение уравнения Д (Я) = О, то (-7i) также является решением этого уравнения. Таким образом, полюсы располагаются симметрично относительно как мнимой, так и действительной осей комплексной плоскости.

Будем считать, что система имеет только простые корни, действительные

части которых не равны нулю, и положим далее, что .....Я, - суть п

корней с отрицательными действительными частями; тогда общее решение системы уравнений будет линейной комбинацией экспонент вида aeV и eht (к = 1, . . ., п). Они содержат 2п произвольных констант а, . . ., . . ., а ; Pi, . . ., р , которые определяются из 2п граничных условий.

Если граничное условие задается только при и х (tj) = х, а х (t) остается произвольным, то в дополнение к начальным условиям имеем условие трансверсальности (13.34), которое в данном случае запишется так:

(13.51)

Таким образом, если правая граничная точка остается свободной, то значения множителей Лагранжа в этой точке равны нулю.

В некоторых случаях верхний предел интегрирования бесконечен, и, следовательно, минимизируемый функционал определен на полубесконечном интервале времени *. Это имеет смысл лишь в том случае, когда при t->oo граничные условия совпадают с положениями равновесия системы; в линейном случае - с началом координат, т. е. х (оо) = 0. Тогда очевидно, что коэффициенты Р при расходящихся экспонентах должны стремиться к нулю:

Р,= О, k=U ...,п. :(13.52)

В рассмотренном примере будем иметь 2п уравнений для п неизвестных.

При этом можно исключить п функций a,ifi4 с k = \.....п и получить

уравнения, из которых определяется множитель как линейная комбинация компонент Xj.

Используя уравнение (13.476), управление и можно представить в виде линейной комбинации составляющих Xj и, следовательно, синтезировать оптимальное управляющее устройство.

Читатель может сам убедиться, что коэффициенты в законе управления постоянны.

* Такая постановка задачи аналогична рассмотренной в § 12.2.

Пример 13.3. Определим линейное оптимальное управление для системы с передаточ-

ной функцией

s2 + Г

принимая во внимание показатель качества

и граничные условия хф)= хях (оо) = 0.

Обозначим выходную величину через к а ее производную через = х,, тогда уравнения системы примут вид

X, = 2 ~ --1 Ь t

согласно выражению (13.446) имеем

Lj = хН-х ++ я])! ( Xi - Xj) + 41)2 ( 2 + 1 - ).

При этом уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид

Xi = Х2; Х2 = -Xi + u; 4J;i = 2x, + -2; Фа = 2x2 ~ Фъ

где и = 9122 - вспомогательное уравнение, которое получено из выражения (13.476). Исключая и, представим систему в матричном виде:

2.00

Рис. 13.4. Структурна схема а его корни К = ± V2; ± Vb.- Выходная координата х, оптимальной системы управ- равна ления с отрицательной обратной связью (для примера 13.3) Ч

Тогда при Х2~ хс учетом уравнений, определяющих компоненты яр;, имеем X2 = 4 = ~V2a,e-V*-\rba-K

R2 2 -

- 1Л2 г , 4 -\Гъ t Че +-3- 26

Выразим ila через составляющие выходного вектора х. Это можно сделать, выразив величины a-e~ и а,2ё~ * из уравнений для х, и Х2. .

-12 t 1

/5-/2

{V5lxi+X2); iV2x, + X2).

Тогда величина яра равна (с точностью до трех десятичных знаков.)

яра = -0,445x1 - 0,406x2,

и = -яз2 =-2,00xi - 1,83x2.

Окончательная структура оптимального управляющего устройства с обратной связью показана на рис. 13.4. Полученная система должна быть устойчива.

При решении задач, рассмотренных выше, использовались уравнения Эйлера-Лагранжа, которые представляют первое необходимое условие

оптимальности. Для лучшего понимания дальнейшего изложения рассмотрим другие необходимые условия, хотя при решении данной задачи в этом нет необходимости.

Условие Лежандра-Клебша состоит в том, что матрица [Е;.х-размерностью (п + 1) х (п + I) должна быть неотрицательной прн Xn+i = = и [f). Последнее означает, что условие Лежандра в этоМ случае будет

(13.53)

Для примера 13.3 имеем dLJdu = 2/9; следовательно, условие Лежандра выполняется.

Далее рассмотрим условие Вейерштрасса, в котором утверждается, что остаточная функция Вейерштрасса Е (13.31) должна быть неотрицательной вдоль оптимальной траектории. В настоящей задаче функция Е зависит от управления и (t), которое, по определению, оптимально лишь в том случае, когда векторы л: () их (t) принимают оптимальные значения. Таким образом, можно написать

E = Li (х*, X, и, t) - Li (X*, Jc*, и*) -

- {xi - xi) {x \ X\ u,t).

(13.54)

При условии

получим

fk (X, и, t) = Д Gft/ (t) Xj -f bk (t) и

Li = L+ S % [Jcft - h (x, u, t)].

откуда найдем

E = L- L* + i>k {{xk - xl) - [fk {x ; u, t) - fk {x, u, t) -

- {xk-Xk)\ = L~L*- £ ipft [fk {x , u, t)-fk {x\u, t)

(13.55)

где L* = L (X*, u*, t).

В случае минимума E О это указывает на то, что и* необходимо выбирать таким, чтобы

S Ык {х1, и, t)~L £ Ык {х, и, t) - L.

к=\ k=l

(13.56)

Другими словами, выражение (13.56) показывает, что и* должно быть выбрано таким, что функция

Я= 1,Ык{х*,и, t)-L

(13.57)

1\ * ч- Д

Напомним, что dLi/du = 0 согласно уравнениям Эйлера-Лагранжа, где L = д

= к{х, x,u,f).