Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [ 121 ] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Запишем его в более простой форме:

А(Я,) =

А -и

2С -А - и

(13.496)

где С = diag [с, . . ., с ].

Так как матрицы (l/2d) ЬЬ и 2С являются симметричными и, кроме того, определители исходной и транспонированной матриц равны, то определитель (13.496) можно привести к виду

А-\-и [ЬЬп

-A-i-U

(13.50)

Анализируя определители (13.496) и (13.50), заметим, что если к есть решение уравнения Д (Я) = О, то (-7i) также является решением этого уравнения. Таким образом, полюсы располагаются симметрично относительно как мнимой, так и действительной осей комплексной плоскости.

Будем считать, что система имеет только простые корни, действительные

части которых не равны нулю, и положим далее, что .....Я, - суть п

корней с отрицательными действительными частями; тогда общее решение системы уравнений будет линейной комбинацией экспонент вида aeV и eht (к = 1, . . ., п). Они содержат 2п произвольных констант а, . . ., . . ., а ; Pi, . . ., р , которые определяются из 2п граничных условий.

Если граничное условие задается только при и х (tj) = х, а х (t) остается произвольным, то в дополнение к начальным условиям имеем условие трансверсальности (13.34), которое в данном случае запишется так:

(13.51)

Таким образом, если правая граничная точка остается свободной, то значения множителей Лагранжа в этой точке равны нулю.

В некоторых случаях верхний предел интегрирования бесконечен, и, следовательно, минимизируемый функционал определен на полубесконечном интервале времени *. Это имеет смысл лишь в том случае, когда при t->oo граничные условия совпадают с положениями равновесия системы; в линейном случае - с началом координат, т. е. х (оо) = 0. Тогда очевидно, что коэффициенты Р при расходящихся экспонентах должны стремиться к нулю:

Р,= О, k=U ...,п. :(13.52)

В рассмотренном примере будем иметь 2п уравнений для п неизвестных.

При этом можно исключить п функций a,ifi4 с k = \.....п и получить

уравнения, из которых определяется множитель как линейная комбинация компонент Xj.

Используя уравнение (13.476), управление и можно представить в виде линейной комбинации составляющих Xj и, следовательно, синтезировать оптимальное управляющее устройство.

Читатель может сам убедиться, что коэффициенты в законе управления постоянны.

* Такая постановка задачи аналогична рассмотренной в § 12.2.



Пример 13.3. Определим линейное оптимальное управление для системы с передаточ-

ной функцией

s2 + Г

принимая во внимание показатель качества

и граничные условия хф)= хях (оо) = 0.

Обозначим выходную величину через к а ее производную через = х,, тогда уравнения системы примут вид

X, = 2 ~ --1 Ь t

согласно выражению (13.446) имеем

Lj = хН-х ++ я])! ( Xi - Xj) + 41)2 ( 2 + 1 - ).

При этом уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид

Xi = Х2; Х2 = -Xi + u; 4J;i = 2x, + -2; Фа = 2x2 ~ Фъ

где и = 9122 - вспомогательное уравнение, которое получено из выражения (13.476). Исключая и, представим систему в матричном виде:

2.00

-1 0

0 2 -

характеристическое

уравнение

суть

Рис. 13.4. Структурна схема а его корни К = ± V2; ± Vb.- Выходная координата х, оптимальной системы управ- равна ления с отрицательной обратной связью (для примера 13.3) Ч

Тогда при Х2~ хс учетом уравнений, определяющих компоненты яр;, имеем X2 = 4 = ~V2a,e-V*-\rba-K

R2 2 -

- 1Л2 г , 4 -\Гъ t Че +-3- 26

Выразим ila через составляющие выходного вектора х. Это можно сделать, выразив величины a-e~ и а,2ё~ * из уравнений для х, и Х2. .

-12 t 1

/5-/2

{V5lxi+X2); iV2x, + X2).

Тогда величина яра равна (с точностью до трех десятичных знаков.)

яра = -0,445x1 - 0,406x2,

и = -яз2 =-2,00xi - 1,83x2.

Окончательная структура оптимального управляющего устройства с обратной связью показана на рис. 13.4. Полученная система должна быть устойчива.

При решении задач, рассмотренных выше, использовались уравнения Эйлера-Лагранжа, которые представляют первое необходимое условие



оптимальности. Для лучшего понимания дальнейшего изложения рассмотрим другие необходимые условия, хотя при решении данной задачи в этом нет необходимости.

Условие Лежандра-Клебша состоит в том, что матрица [Е;.х-размерностью (п + 1) х (п + I) должна быть неотрицательной прн Xn+i = = и [f). Последнее означает, что условие Лежандра в этоМ случае будет

(13.53)

Для примера 13.3 имеем dLJdu = 2/9; следовательно, условие Лежандра выполняется.

Далее рассмотрим условие Вейерштрасса, в котором утверждается, что остаточная функция Вейерштрасса Е (13.31) должна быть неотрицательной вдоль оптимальной траектории. В настоящей задаче функция Е зависит от управления и (t), которое, по определению, оптимально лишь в том случае, когда векторы л: () их (t) принимают оптимальные значения. Таким образом, можно написать

E = Li (х*, X, и, t) - Li (X*, Jc*, и*) -

- {xi - xi) {x \ X\ u,t).

(13.54)

При условии

получим

fk (X, и, t) = Д Gft/ (t) Xj -f bk (t) и

Li = L+ S % [Jcft - h (x, u, t)].

откуда найдем

E = L- L* + i>k {{xk - xl) - [fk {x ; u, t) - fk {x, u, t) -

- {xk-Xk)\ = L~L*- £ ipft [fk {x , u, t)-fk {x\u, t)

(13.55)

где L* = L (X*, u*, t).

В случае минимума E О это указывает на то, что и* необходимо выбирать таким, чтобы

S Ык {х1, и, t)~L £ Ык {х, и, t) - L.

к=\ k=l

(13.56)

Другими словами, выражение (13.56) показывает, что и* должно быть выбрано таким, что функция

Я= 1,Ык{х*,и, t)-L

(13.57)

1\ * ч- Д

Напомним, что dLi/du = 0 согласно уравнениям Эйлера-Лагранжа, где L = д

= к{х, x,u,f).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [ 121 ] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.