Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Нетрудно видеть, что в результате преобразования {si- А)~ придем к тому же выражению переходной матрицы, т. е. к выражению (3.38).

Пример 3.8. Для системы, приведенной на рис. 3.1, найти: а) переходную матрицу; б) переходный процесс по переменным состояния при г (Q = О и (0) = 4, Ха (0) = 2;-в) реакцию системы на входной сигнал г (i) = cos 2t, прикладываемый в момент t = О при началь-

. ных условиях Xi (0) = Ха (0) = 0. . Уравнения системы имеют вид

Xi = -6xi -f Sxj;

Xa = --f r (0,

так что

Рис. 3.1. Структурная схема системы, рассматриваемой в примере 3.8

-6 5

; & =

1 0.

Собственные значения системы (полюсы) можно получить, записав определитель -6-7: 5

\А~%1\ =

Следовательно, %= -1, -5.

Чтобы найти переходную матрицу, сформируем сначала из предварительно найденных собственных векторов преобразующую матрицу Р. Написав соответственно для %- -1 и %= -5 уравнение Az = Xz, находим с точностью до постоянного множителя следующие

собственные векторы:

-1 5-1 1

. Следовательно, 1

р-1 =

-1 5-1 -1

Путем проверки можно убедиться, что .

Л = Р-МР.

Переходную матрицу можно сформировать с помощью следующего преобразования:

ф(1, 0) = Р

О е

Если г (f) = 0; Xj (0) = 4 и Ха (0) = 2, то переходный процесс определяется выражением x{t)=0(t, 0)jc(0) =

-I е-

и, наконец, при г (f) = cos 2t и х (0) = Xg (0) = О реакция системы с момента t = О определяется согласно уравнению (3.22) выражением

-1 * ~

-xi(0-

Х2 (0

Ф( ,т)&(т)г(т)йт =

sin 2t -f cos 2t

{5e- (-) - 5e-5 (-)) cos 2% d%

(5e- e-5 -T))cos 2т й%

29 25

~ (14 sin 2-f 6 cos 2<



Перед тем как закончить этот раздел, заметим-, что, поскольку для линейных стационарных систем функция Ф {t, имеет вид (-о), то эта функция не изменяется при сдвиге во времени. Без потери общности можно считать 0 = О- Поэтому переходную матрицу линейной инвариантной во времени системы будем иногда обозначать как Ф {t).

3.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Матричная запись весьма удобна и для представления системы в области изображений по Лапласу. В случае стационарной многомерной системы будем обозначать изображения по Лапласу входных сигналов {f), (f), . . ., . . ., Uf (t) по традиции как Ui (s), (s), ...,11 (s). Ряд из г переменных в области изображений можно представить г-мерным вектором U (s). Аналогичным образом вектор состояния можно в области изображений представить п-мерным вектором X (s), а выходные сигналы /п-мерным вектором Y (s). Соотношение между этими векторами устанавливается передаточными матрицами И (s) я G (s) типа- пХг и тХг согласно следующим уравнениям:

Л- (s) = Я (s) и (s); . (3.39)

Y (s) = G (s) U{s). (3.40)

Напомним, что передаточная функция, связывающая входной и выходной сигналы, определяется как преобразование Лапласа от реакции системы на входной сигнал в виде единичного импульса при нулевых начальных условиях и при равенстве нулю всех других внешних сигналов. Следовательно, элемент (s) матрицы И (s) представляет собой преобразования по Лапласу импульсной переходной функции по г-й переменной состояния в отношении /-го входного сигнала при равенстве нулю всех других входных сигналов.

Представляет интерес установить взаимосвязь между матричными передаточными функциями системы Н (s), G (s), введенными согласно уравнениям (3.39) и (3.40), и матрицами во временной области А, В, С я D, определенными по уравнениям (2.8).

Можно убедиться, что практически все формулы для преобразований по Лапласу при скалярной форме записи справедливы и для случая записи в матричной форме. Рассмотрим, например, систему х = Ах + Ви; у = = Сх + Du. Преобразуя по Лапласу обе части первого уравнения при нулевых начальных условиях, получим

sX{s)==AX{s)BU S)

lsr-A]X{s) = BUis).

Следовательно,

X(s) = [sr-ArBU{s). (3.41)

Преобразуя по Лапласу обе части уравнения у (f) = Сх (f) + Du{f), получим

Y{s) = CX{s) + DU{s), (3.42)

так что ,

Y{s) = lC(sJ~ArB + D]U(s). (3.43)

Из уравнений (3.39)-(3.43) найдем

H(s) = [sI-ArB; (3.44)

G (S) = С [S/- Л B + D. (3.45)



уравнения (3.44), (3.45) определяют путь .получения передаточной функции системы из уравнений, записанных через переменные состояния.

Пример 3.9. Для системы, рассмотренной в примере 2.4, имеем

X 1 О О V О О О

в = ь =

Тогда

C(s)=[CiC2C3]

= [С1С2СЗ]

(s - М -1 о

о (s - K) о

О О (S -?2)J

Пример 3.10. Рассмотрим теперь систему из примера 2.6. Располагая матрицами А, В и С, получим

:-{si-A) =

0 0

s + {K + K)

0 0

s + ls 0

0 s + 7,i

0 0

0 0

Следовательно,

isI-A)- =

s + K + X

-?ia s

. 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

-s + h



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.