Нетрудно видеть, что в результате преобразования {si- А)~ придем к тому же выражению переходной матрицы, т. е. к выражению (3.38).

Пример 3.8. Для системы, приведенной на рис. 3.1, найти: а) переходную матрицу; б) переходный процесс по переменным состояния при г (Q = О и (0) = 4, Ха (0) = 2;-в) реакцию системы на входной сигнал г (i) = cos 2t, прикладываемый в момент t = О при началь-

. ных условиях Xi (0) = Ха (0) = 0. . Уравнения системы имеют вид

Xi = -6xi -f Sxj;

Xa = --f r (0,

так что

Рис. 3.1. Структурная схема системы, рассматриваемой в примере 3.8

Собственные значения системы (полюсы) можно получить, записав определитель -6-7: 5

\А~%1\ =

Следовательно, %= -1, -5.

Чтобы найти переходную матрицу, сформируем сначала из предварительно найденных собственных векторов преобразующую матрицу Р. Написав соответственно для %- -1 и %= -5 уравнение Az = Xz, находим с точностью до постоянного множителя следующие

собственные векторы:

-1 5-1 1

. Следовательно, 1

р-1 =

-1 5-1 -1

Путем проверки можно убедиться, что .

Л = Р-МР.

Переходную матрицу можно сформировать с помощью следующего преобразования:

ф(1, 0) = Р

О е

Если г (f) = 0; Xj (0) = 4 и Ха (0) = 2, то переходный процесс определяется выражением x{t)=0(t, 0)jc(0) =

-I е-

и, наконец, при г (f) = cos 2t и х (0) = Xg (0) = О реакция системы с момента t = О определяется согласно уравнению (3.22) выражением

-1 * ~

Ф( ,т)&(т)г(т)йт =

sin 2t -f cos 2t

{5e- (-) - 5e-5 (-)) cos 2% d%

(5e- e-5 -T))cos 2т й%

29 25

~ (14 sin 2-f 6 cos 2<

Перед тем как закончить этот раздел, заметим-, что, поскольку для линейных стационарных систем функция Ф {t, имеет вид (-о), то эта функция не изменяется при сдвиге во времени. Без потери общности можно считать 0 = О- Поэтому переходную матрицу линейной инвариантной во времени системы будем иногда обозначать как Ф {t).

3.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Матричная запись весьма удобна и для представления системы в области изображений по Лапласу. В случае стационарной многомерной системы будем обозначать изображения по Лапласу входных сигналов {f), (f), . . ., . . ., Uf (t) по традиции как Ui (s), (s), ...,11 (s). Ряд из г переменных в области изображений можно представить г-мерным вектором U (s). Аналогичным образом вектор состояния можно в области изображений представить п-мерным вектором X (s), а выходные сигналы /п-мерным вектором Y (s). Соотношение между этими векторами устанавливается передаточными матрицами И (s) я G (s) типа- пХг и тХг согласно следующим уравнениям:

Л- (s) = Я (s) и (s); . (3.39)

Y (s) = G (s) U{s). (3.40)

Напомним, что передаточная функция, связывающая входной и выходной сигналы, определяется как преобразование Лапласа от реакции системы на входной сигнал в виде единичного импульса при нулевых начальных условиях и при равенстве нулю всех других внешних сигналов. Следовательно, элемент (s) матрицы И (s) представляет собой преобразования по Лапласу импульсной переходной функции по г-й переменной состояния в отношении /-го входного сигнала при равенстве нулю всех других входных сигналов.

Представляет интерес установить взаимосвязь между матричными передаточными функциями системы Н (s), G (s), введенными согласно уравнениям (3.39) и (3.40), и матрицами во временной области А, В, С я D, определенными по уравнениям (2.8).

Можно убедиться, что практически все формулы для преобразований по Лапласу при скалярной форме записи справедливы и для случая записи в матричной форме. Рассмотрим, например, систему х = Ах + Ви; у = = Сх + Du. Преобразуя по Лапласу обе части первого уравнения при нулевых начальных условиях, получим

sX{s)==AX{s)BU S)

lsr-A]X{s) = BUis).

Следовательно,

X(s) = [sr-ArBU{s). (3.41)

Преобразуя по Лапласу обе части уравнения у (f) = Сх (f) + Du{f), получим

Y{s) = CX{s) + DU{s), (3.42)

так что ,

Y{s) = lC(sJ~ArB + D]U(s). (3.43)

Из уравнений (3.39)-(3.43) найдем

H(s) = [sI-ArB; (3.44)

G (S) = С [S/- Л B + D. (3.45)

уравнения (3.44), (3.45) определяют путь .получения передаточной функции системы из уравнений, записанных через переменные состояния.

Пример 3.9. Для системы, рассмотренной в примере 2.4, имеем

X 1 О О V О О О

в = ь =

Тогда

C(s)=[CiC2C3]

= [С1С2СЗ]

(s - М -1 о

о (s - K) о

О О (S -?2)J

Пример 3.10. Рассмотрим теперь систему из примера 2.6. Располагая матрицами А, В и С, получим

:-{si-A) =

Следовательно,

isI-A)- =

s + K + X

-?ia s

. 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

-s + h