Эти зависимости обычно именуются условиями переключения. Для симметричных колебаний найдём, что некоторые из этих условий являются излишними.

Выражения (8.13 а, б) - необходимые условия для возникновения колебаний. Дополнительно к этому нужно также установить, что е. (t) не имеет такой формы, которая вызывает включения реле в моменты времени, отличные от предполагаемых. Это означает, что для реле без зоны нечувствительности выполняются условия

п(0> -6 при 0/<аТ; eitXe при aTt<T, J -а для реле с зоной нечувствительности - условия

(/)>Х при 0<3iT; - s<e {t)<k при PiT<f<aT; п(0< - при aTt<T; -<e {t)<e при T<t<T.

(8.14а)

(8.146)

Назовем зависимости (8.14а, 6) условиями непрерывности. И в этом случае найдем, что для симметричных колебаний некоторые из условий (8.14) являются лишними. Условия (8.13) и (8.14) являются необходимыми и достаточными условиями для существования автоколебаний. На практике часто достаточно проверить справедливость только необходимых условий переключения (8.13), после чего получаются параметры периодического сигнала, и с их помощью можно вычислить периодическую характеристику п (О = п (О - Уп () которая и должна удовлетворять условиям (8.14).

8.3. МОДИФИЦИРОВАННОЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ С ОПЕРЕЖЕНИЕМ

Э. Джури [89] показал, как модифицированное 2-прео6разование * может быть использовано для определения периодических процессов в си- стемах управления с линейными объектами, на которые действует периодический сигнал. Можно распространить этот метод на более широкий класс стационарных линейных объектов с передаточными функциями G (р), содержащими полюсы при р = 0 или даже в правой полуплоскости [141]. В последнем случае начальные условия должны обеспечивать существование периодических колебаний в системе.

Рассмотрим основные колебания, определяемые уравнением (8.11). :Применяя к- ним преобразование Лапласа, получим **:

1) для реле без зоны нечувствительности

и (S) = (1 - 2е- + е-) S е =

= -[СЛГ HpHRes>0; (8.15а)

* Модифицированное z-преобразование и модифицированное z-преобразование с опережением в основном одинаковы. Первое из них отличается от второго наличием множителя г . Здесь и в дальнейшем будет применяться модифицированное z-преобразование с опережением. Свойства обычного и модифицированных z-преобразований изложены в приложении П.

** Здесь использовано следуюш,ее соотношение: =-!--которое спра-

ft=o 1-е

>ведливо, когда Re s > 0.

2) для реле с зоной нечувствительности

[/ (S) = (1 - e-P.s - e-Ts + e--Ts) X

X Sg- = , -sn-- при Res>0. (8.15б>.

Преобразование Лапласа выходного сигнала линейного элемента запишем Б виде

Г (S) = Fo (S) + [/п (S) G (S), (8.16)

где Fo (s) - преобразование Лапласа реакции объекта (О на начальные условия.

Уравнение (8.16) можно записать в виде

F(s) = Fo(s)+)g, (8.17)

1 - В

где

иЛ5) = иЛ)[\-е-Ц. (8.18)

Из уравнения (8.15) для реле без зоны нечувствительности получим Ui(s) =3-(1 - 2Ts e-Ts) (8 19а),

и для реле с зоной нечувствительности

Ul{s) = {\-e-т - eг<тsJf,тsY (8.196)

Определим функцию F (s) с помощью следующего выражения:

Y (S) ~ -Щг = Fl (S) S e-s . (8.20).

1 - в k=0

приравнивая выражения (8.17) и (8.20), получим

Fl (S) = (1 - e-sT) Fo (s) + t/i (s) G (s). (8.21>

Обобщим полученные результаты в виде теоремы.

Теорема 8.1. Если функция Fi (s) является аналитической * в области Re S О, то на выходе системы существуют установившиеся колебания у (t)-в. виде

Упit) = S г/1 ( + kT), 0t<T. (8.22)

Для доказательства найдем обратное преобразование Лапласа уравнения (8.20); в результате получим

y{t)=T yi(.t-kT). (8-23)

Из определения преобразования Лапласа и аналитичности функции Fl (s) в области Re s О следует, что \yi(t) \ = \ У (s) < уег-*

* Будем считать, что функция Y (s) комплексной переменной s аналитична в области комплексной плоскости, если она определена и дифференцируема внутри этой же области

.для некоторых у, 8 0. Это значит, что ряд (8.23) сходится к периодическому установившемуся решению с периодом Г, когда со. Иначе говоря,

y{t) = lim у it + NT) = Пт Ц Уг + (N + k) Т], 0t<T,

юткуда следует уравнение (8.22).

Уравнение (8.23) можно переписать в виде

i/(mT)=:limi(z, т); 0т<1, (8.24)

Z->1

где {z, т).- модифицированное г-преобразование с опережением функции Ух (t), которое определяется следующим выражением:

1 {Z, т) = S г/1 Цк + т) Т] \ О m < 1. (8.25)*

Уравнение (8.24) позволяет равноправно использовать таблицы любого из модифицированных г-преобразований **. Предел при z- \ существует, если (z, т) аналитична в области z 1 [см. уравнение (11.16) приложения II]. Это автоматически выполняется, если линейный элемент системы устойчив, т. е. когда все полосы G (s) и Yq (s) лежат в области Re s < 0. С другой стороны, необходимо выбрать такие начальные условия, при которых члены (z, т) с особенностями в области z 1 исключаются. -Это лучше всего проиллюстрировать на конкретном примере.

Пример 8.1. Проанализируем колебания в системе управления (см. рис. 8.1) с реле без зоны нечувствительности (см. рис. 8.2, а). Для нее имеем

rit) = R;G(s) = , (8.26)

Ko(s)=+5h-4, а>0.

.где R - постоянная величина; х-, Х20, xq - начальные условия при = 0. Для определения главных колебаний в системе из уравнений (8.19а) и (8.21) получим следующее соотно-.-шение;

F.(s) = (l-e--)(H-5 + )H-

+ 0{1-2е--+е-). (8.27)

Отметим, что полюс передаточной функции G (s) при s = О определяет нулевое значение Сигнала на входе линейного элемента, и, следовательно,

а=. (8.28)

* См. приложение П.

** Необходимо отметить, что выражение (8.24) справедливо и в том случае, если (2, т) - модифицированное г-преобразование. Это возможно потому, что в пределе при 2 -> 1 оба модифицированных 2-преобразования идентичны. Таким образом, обе таблицы применимы. В литературе на равных правах используются оба вида преобразований. В работах [90, 190] приводятся таблицы того и другого z-преобразования.