Начавшаяся эра освоения человечеством космического пространства привела к созданию целого ряда нелинейных систем автоматического управления для космических летательных аппаратов. Расчеты и проектирование такого рода систем представляют значительные трудности. Поэтому при проектировании инженер часто полагается на свою интуицию и свои знания Б других областях науки и техники. Однако теория автоматического управления неуклонно развивается за счет совершенствования ее математического аппарата. И современный инженер должен овладевать новыми разделами математики, хорошо понимая при этом физическую сущность работы нелинейной системы и ее элементов. Большие возможности в проектировании нелинейных систем имеют цифровые, аналоговые и комбинированные (аналогово-цифровые) вычислительные машины. Современный инженер должен также хорошо знать такие математические методы программирования, как электротехнику, радиотехнику, электронику.

1.1. РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

В настоящее время в теории управления наблюдаются две наиболее характерные тенденции: это все возрастающий интерес инженеров к отдельным разделам математики и усиливающийся интерес самих математиков к задачам управления. Появляется большое число публикаций, связанных с задачами управления, представляющих самостоятельный интерес для математиков. Многие хорошо известные результаты пересматриваются специалистами по теории управления заново, а, в свою очередь, математики разрабатывают новые методы, специально приспособленные для решения задач управления. При этом изящество математических построений не должно быть самоцелью. Важнее показать те преимущества, которые могут извлечь инженеры из уже имеющихся результатов математической теории. Если инженер видит, что к поставленной задаче применимы известные математические результаты, то вопрос проектирования системы управления решается более успешно. Но при этом остается одна трудность -т описать систему математически.

При описании систем инженер часто прибегает к эксперименту, где опыт и физическая интуиция играют более важную роль, нежели дедуктивны* умозаключения. Даже в том случае, когда математическое описание системы завершено в такой степени, что могут быть использованы известные математические результаты, эксперимент и ясный физический смысл оказывают неоценимую услугу в дальнейшей разработке конкретных методов решенир

поставленной задачи. Поэтому инженерам следует рекомендовать приспосабливать задачу к методу, а не наоборот, так как уверенность в правильности математической постановки - это уже результат, а не только средство его достижения. Такой подход, как правило, чрезвычайно трудоемок и не всегда справедлив, поскольку определяется уровнем так называемой инженерной интуиции .

Какова же в таком случае роль математики при проектировании и исследовании систем управления? Математика, с точки зрения инженера, это не что иное, как последовательность полезных правил. Эти правила можно успешно использовать, если четко представлять границы их применимости. Когда система описана полностью, то математики могут судить об устойчивости и показателях качества системы в данных конкретных условиях ее работы. Иногда оказывается возможным определить наилучшую систему по отношению к заданному критерию качества. Нет сомнения, что для применения всех этих полезных правил исследователь должен хорошо ориентироваться в широком круге современных математических проблем.

В предлагаемой книге используется следующий математический аппарат: векторно-матричный - для анализа динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями некоторые топологические положения для рассмотрения оптимальных задач и вопросов устойчивости ; приближенные вычисления, основанные на методах Ритца и Галеркина ; метод модифицированного z-преобразования элементы функционального анализа ; основы вариационного исчисления * и его Двух современных направлений-принципа максимума и динамического программирования и, наконец, некоторые численные методы, связанные с хорошо зарекомендовавшими себя методами Ньютона и Раффсона и методом наискорейшего спуска.

Значение того или иного математического метода определяется тем, насколько он позволяет продвинуться в решении поставленной задачи. Иногда, при применении нового метода становится яснее какая-то сторона задачи, и на этой основе возникает эффективный способ ее решения. Поэтому там, где это возможно, мы даем сразу несколько способов решения одной и той же задачи. Другая важная сторона при рассмотрении того или иного математического приема - это указание границ его применимости. Мы предпринимаем серьезную попытку в этом направлении, понимая,/Что только так можно правильно осветить истинные возможности теории управления.

fl.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

В дальнейшем будем рассматривать системы управления, динамика которых хорошо- описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями п-го порядка. Если в состав системы входит линейное устройство, то coothq-

С математическим аппаратом, используемым в этой книге, читатель может ознакомиться в следующих книгах:

Ш и л о в Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. Гостехизддт, 1956.

Андронов А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний. Физмат-гиз, 1959.

Б е р е 3 и н И. С, Ж и д к о в Н. П. Методы вычислений, т. 1, 2. Физматгиз, 1962. * Ц ы п к и н Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М., Физматгиз, 1963. 6 Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд-во Наука , М., 1968.

Гельфанд И. М., Фомин СВ. Вариационное исчисление. М., Физматгиз,

1961.

Болтянский Б. Г. Математические методы оптимального управления. Изд-во Наука , М., 1969.

Беллман Р. Динамическое программирование. Изд-во иностр. лит., М., 1960 (Прим. ред.).

шение между его выходным и входным сигналами можно представить с помощью импульсной переходной функции, а следовательно, всю систему управления описать интегральным уравнением. Это позволяет нам рассматривать как линейную систему, например, линию электропередач, описание которой задается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных.

Линейные системы имеют целый ряд преимущес5в, позволяющих достаточно просто описать их поведение, и самое важное, что для них справедлив принцип суперпозиции, предполагающий выполнение свойств аддитивности и однородности как по входному сигналу, так и по начальным условиям *. Принцип суперпозиции позволяет считать, что линейная система по отношению к произвольным начальным условиям может быть:

а) устойчивой, когда выходной сигнал, уменьшаясь, стремится к нулю;

б) неустойчивой, когда выходная величина неограниченно растет;

в) колебательной, когда на выходе имеют место колебания, амплитуда которых пропорциональна величине начальных отклонений.

Важным подклассом линейных систем являются стационарные системы. У них связь между входным и выходным сигналами не изменяется с течением времени, а это значит, что, если при нулевых начальных условиях сигнал г (t) вызывает реакцию у (f), то г {t - Т) вызывает у (t - Т) при любом фиксированном Т. Ввиду этого свойства линейные стационарные системы могут быть достаточно просто проанализированы с привлечением преобразования Лапласа. Хорошо известные частотные методы составляют основное средство анализа, хотя при этом их можно с успехом дополнить методами анализа во временной области. Среди линейных стационарных систем следует выделить системы, динамика которых описывается обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Следует отметить, что линейные стационарные системы - это единственные системы, для анализа которых развита общая математическая теория.

Когда мы подходим к изучению более сложных систем, в частности нелинейных, положение дел не так удовлетворительно. Начиная с 50-х годов, были развиты некоторые эффективные подходы к решению нелинейных задач. Однако практическая ценность полученных результатов в значительной степени ограничена. Отметим, что наиболее важные результаты касаются систем, сводимых к одноконтурным, часть элементов которых линейна. Блок-схема такой системы показана на рис. 1.1, а. Ограничения, налагаемые на нелинейную часть такой системы, определяются тем, какой результат требуется,- приближенный или точный, количественный или качественный. Во многих случаях нелинейная часть -*- это либо коэффициент усиления, либо реле, реагирующее на сигнал ошибки системы (рис. 1.1, б). В тех же случаях, когда решение ищется в виде последовательных приближений, нелинейный элемент может иметь более общий вид.

Результаты теории не налагают на линейную часть системы никаких ограничений, хотя на практике из-за вычислительных трудностей часто в ка-, честве линейной части рассматривается динамическое звено низкого порядка.

* Система аддитивна по входному сигналу, если при нулевых начальных условиях входной сигнал г- (t) вызывает на выходе реакцию j/j ({), а сигнал (t) определяет выходной сигнал J/2 (t), и при этом входной сигнал ri (f) -\- Г2 (О приводит к выходному сигналу t/i (t) + + f/2 (О- Система однородна по входному сигналу, если при нулевых начальных условиях входной сигнал (i) вызывает сигнал yi (t), а kri ({) определяет на выходе kyi (f) при любом действительном k (эти два свойства неэквивалентны, см. [206]).. Определение системы, которая аддитивна и однородна по отношению к начальным условиям, следует непосредственно из вышескаванного.