Из его анализа следует, что:

1) для общего вида нелинейностей и (t) = ff [е (t), t] условия Попова (при 9 = 0) выполняются, если

0<К 1,85;

2) для однозначной нелинейной характеристики и = f (е) условия Попова выполняются при 9 = 0,15, если

0<К< 1,98.

Следовательно, системы с нелинейностью общего вида или однозначной нелинейностью характеризуются абсолютно асимптотически устойчивьми управляющими и выходными сигналами, если (и/е) [0; 1,85] или (и/е) [0; 1,98] соответственно. Таким образом, в силу леммы 10.1 для произвольных начальных условий выполняется следующее равенство: lim е (О = 0.

10.4. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ в ЦЕЛОМ

Понятие асимптотической устойчивости в целом, введенное в гл. 9, связано с асимптотическим поведением всех переменных состояния и предусматривает совокупность дополнительных требований, наложенных на них. Однако во многих практически важных случаях существование асимптотически устойчивого управления или асимптотически устойчивого выходного сигнала приводит и к выполнению условий асимптотической устойчивости в целом.

Рассмотрим линейную часть системы, которая удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению (10.5):

Jc{t)=Axit) + buity, e(t) = ~cx{ty, u{t) = le{t),t].

(10.24)

Для этой системы справедлива следующая теорема. Теорема 10.2. Если для системы п-го порядка вида (10.24)

1) все собственные значения X,- (г = 1, . . ., /г) матрицы имеют отрицательные действительные части;

2) (w/e)e [О, К] при 0</С<оо;

3) выполняются условия теоремы 10.1 и неравенство (10.19) справедливо для О 9 < оо, то начало координат л: = О асимптотически устойчиво в целом для каждого (и/е) [О, К1-

Доказательство этой теоремы приводится в приложении III.

Отметим, что теорема 10.2 справедлива лишь при выполнении условия Попова для О 9 < оо, однако практически это ограничение охватывает все наиболее важные случаи При значениях -оо < 9 < О для справедливости теоремы 10.2 необходимо ввести дополнительные условия.

Пример 10.5. Рассмотрим линейную часть, заданную уравнением:

О О О 1 -1 О О -2 -2

которую можно представить в виде уравнения (10.7), где 1 О

1x3 J

Ф(0 =

1 + 2е- - е-

2{e-t-e-*)

Импульсная переходная функция g (О и реакция на начальные условия могут быть получены из уравнений (10.24) и приведенных выше соотношенийв следующем виде:

g (О = сФ (О & = е- -

eo(t) = -cm{t)x{0) =

= {е-* - е-О Xl (0) + (2е-2 - е- (0) + е-* Хд (0).

Линейная часть системы устойчива, так как выполняются условия (10.9). Однако одно из собственных значений матрицы равно О, и, следовательно, первое условие теоремы 10.2 не выполняется. Поэтому, если такой линейный элемент входит р состав системы с обратной связью, то нельзя утверждать, что такая система асимптотически устойчива в целом. В данном конкретном случае свойство асимптотической устойчивости в целом не свойственно системе, поскольку структурно ее линейная часть состоит из последовательного соединения интегрирующего звена, за которым следуют апериодические звенья, выходы которых и являются соответствующими переменными состояния. С точки зрения практических приложений чаще более важным является свойство асимптотического стремления к нулю выходной координаты системы, а не свойство асимптотической устойчивости в целом. Безусловно, последнее определяется конкретной постановкой задачи.

10.5. СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ КАК ХАРАКТЕРИСТИКА ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ

Еще более существенным, чем факт устойчивости, является определение степени устойчивости, которое характеризует движение системы к положению равновесия после воздействия возмущения. С физической точки зрения здесь речь идет о демпфирующих свойствах системы. Понятие степени устойчивости было введено в § 10.4, и оно равносильно существованию асимптотически устойчивого управления или асимптотически устойчивого выходного сигнала с коэффициентом затухания а. Оказывается, степень устойчивости можно очень просто определить, воспользовавшись основной теоремой Попова (теорема 10.1).

Воспользуемся преобразованием (10.18). В результате такого преобразования первоначальные уравнения (10.1) можно записать в виде

ба (О = боа (t) - j ( - Т) (Т) dx;

а(0 = .а[еа(0, t],

<Га [еа (t), t] = е сГ [е е (t), t Отметим также, что

ua{t) u(t) eait) e(t)

(10.25)

(10.26)

Тогда ясно, что если (и/е)£ [а, Ь], то и (ujea) Е la, Ь]. Следовательно, первоначальная система (10.1) переходит в новую систему (10.25) такую, что:

1) степень устойчивости а первоначального линейного элемента (10.1) соответствует свойству устойчивости преобразованной линейной части (10.25) и наоборот; *

2) существование асимптотически устойчивого управления или асимптотически устойчивого выходного сигнала с коэффициентом затухания а для системы (10.1) соответствует существованию асимптотически устойчивого управления или асимптотически устойчивого выходного сигнала для системы (10.25) и наоборот.

Преобразование Фурье для сигнала § (/) [см. преобразование (10.18)], обозначаемое через G (/ш), связано с преобразованием Фурье сигнала g (t) следующим соотношением:

G (/со) = G (/(О - а). (10.27)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 10.3. Любой критерий существования асимптотически устойчивого управления или асимптотически устойчивого выходного сигнала с коэффициентом затухания а можно получить из критерия существования просто асимптотически устойчивого управления или асимптотически устойчивого выходного сигнала, если:

1) требование устойчивости линейного элемента заменить требованием устойчивости со степенью а;

2) G (/со) заменить на G (/со - а).

Например, условие Попова (10.19) теоремы (10.1), определяющее существование асимптотически устойчивого управления и асимптотичес;ки устойчивого выходного сигнала с коэффициентом затухания а, преобразуется к виду

Re[(l + /(09)G(/(o-a)]-f-i-6>0. , (10.28)

В дальнейшем будет рассмотрено значительное число примеров с использованием условия (10.28).

10.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СДВИГА ПОЛЮСОВ И КРУГОВОЙ КРИТЕРИЙ

В данном параграфе рассмотрим применение основной теоремы 10.1 к анализу асимптотического поведения систем более широкого класса, чем указанные в теореме. Кроме того, с помощью простейших преобразований можно выяснить соответствие и взаимосвязь ограничений, налагаемых на вид нелинейного элемента и характеристику линейной части для удовлетворения условий устойчивости. Уже теорема 10.1 определяет связь между выбором значения q и типом нелинейности. Число зависимостей можно увеличить, если использовать преобразования, связанные со сдвигом полюсов и со сдвигом нулей, или их комбинацию. Ниже мы рассмотрим преобразование, связанное со сдвигом полюса, которое позволяет анализировать системы, непосредственно не удовлетворяющие условиям теоремы 10.1. Кроме того, указанный подход позволяет сформулировать круговой критерий, обобщен ная формулировка которого дается теоремой (10.4).

1. Сдвиг полюсов

Сдвиг полюсов определяется преобразованием

w (О = W (О - ае (t). (10.29)

В соответствии с выражением (10.29) сектор (и/е) 6 [а, Ь] для исходной нелинейности [е (t), t] преобразуется в сектор (uje) g [а - а, bi - а] для преобразованной нелинейности [е (t), t], как показано на рис. 10.9, а.

Пользуясь преобразованием (10.29), систему (рис. 10.9, б) можно преобразовать в эквивалентную, изображенную на рис. 10.9, в, в которой линейный элемент описывается передаточной функцией вида