Рассмотрим импульс, соответствующий j-к компоненте в сопряженной системе, т. е. рассмотрим реакцию ЧР системы = - (Q +V (t), где v{t) - вектор, /-й элемент которого представляет собой импульс [х (о), а Все остальные элементы - нули; п-я составляющая вектора может быть тогда сразу записана как !) = [t, to), и согласно уравнению (3.58) получим

it, to) = Ф/ (0, t). (3.60)

Мы видим, что, используя импульсную переходную йункцию сопряженной системы, можно получить Ф/ с инвертированным порядком следован я to и t. Это как раз то, что требуется, если отвлечься от факта нереализуемости Фу (о, t) для to <С t.

Однако, обращая время в сопряженной системе, находящейся под действием импульса, (т. е. производя подстановку т = t - t, что соответствует обращению сопряженной системы), мы получим желаемый результат, если будем оперировать с ilfn (t -т, t *.

Если для получения 6 (t - т) обратить Ь (Q, то произведение !) (t - т, t (ti -т) даст Xj (ti, to) как функцию to-

Заметим, что использование метода сопряженных систем встречает определенные трудности, в частности, при моделировании системы. Во-первых, при устойчивости исходной системы сопряженная система неустойчива и, следовательно, чувствительна к шумовым помехам и к неточностям в значениях параметров. Во-вторых, при нетривиальных задачах (например, линейная изменяющаяся во времени система с несколькими входами и выходами) использование сопряженной системы, аналогичное приведенному в примере 3.15, потребует значительно более сложных выкладок, чем в случае непосредственного исследования исходной системы.

. При рассмотрении задач оптимизации (гл. 13-17) мы будем весьма часто использовать сопряженные системы.

3.9. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, КОТОРЫЕ НЕ МОГУТ БЫТЬ ОПИСАНЫ ЧЕРЕЗ ПЕРЕМЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ

Существует класс линейных систем, которые не могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями конечного порядка. Примером таких систем являются системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Применительно к этим системам метод переменных состояния мало удобен. Поскольку, однако, система линейна, ее можно характеризовать импульсной переходной функцией g() и соотношение между входным и выходным сигналами выразить через интеграл свертки

y(t) = yito) + \g{t-c)u{x)dx, (3.61)

где, как обычно, и (f) - входной, а у (t) - выходной сигналы.

Пример 3.16. Предположим, что нормированное напряжение на расстоянии х от конца идеализированной передающей ?С-линии представляется функцией v (х, f); известно, что для этой линии справедливо следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных:

(3.62)

Реакция линии в точке х= хка входное напряжение v (О, f) (прикладывается на конце JC - 0) определяется уравнением

V (Хх, t) = V0 {Xi, f) + \ 8 (%. t - x)v (О, т) dx, (3.63)

Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе [113].

по своему виду совпадающим с уравнением (3.61). Здесь v {х, t) - переходный процесс системы от начальных условий. Заметим, что даже при v (О, Q s О напряжение v {х, t) нельзя найти, если {неизвестна функция v {х, 0) начального (при t = 0) распределения напряжения вдоль передающей линии. Для линейной же системы с сосредоточенными параметрами требуется, как мы знаем, лишь конечное число начальных условий. Так как функция распределения напряжения соответствует системе с бесконечным числом степеней свободы, то приходим к заключению, что системы с распределенными параметрами, например передающая линия, могут быть представлены лишь в бесконечномерном пространстве состояний.

При исследовании связи между входом и выходом можно использовать интеграл свертки (3.63). В частности, для системы (3.62) можно проверить [см. упражнение 3.15], чта переходный процесс от начальных условий определяется соотношением

Vo {X, t) = -

-e )v (I, 0, dl, (3.64>

2Ynt 0

откуда импульсная переходная функция получается в следующем виде:

g{x, t) е (xQ). Г3.65)

2 у n,t

Интересно отметить, что для фиксированного значения х передаточная функция системь не является более отношением полиномов от s. В данном случае имеем

G(s)=S {g (X, f)] = е- (3.66).

3.10. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В настоящей главе рассматриваются некоторые вопросы, связанные с решением уравнений состояния системы. Найденное решение описывает траекторию в пространстве состояний системы.

Наиболее общим достаточным условием, которому должна удовлетворять система x = f(x, и, t), чтобы иметь единственное решение, является условие Липшица (3.5). Для линейной системы л: = А (t) х + В (t) и достаточным условием существования единственного решения является интегрируемость А (f) в смысле Римана.

В этом случае решение можно получить как функцию от переходной, матрицы Ф {t, to), используя уравнения (3.16) или (3.22).

Переходная матрица линейной стационарной системы теоретически всегда может быть получена, причем для этого может быть использован любой из методов, рассмотренных в разделе 3.4. Однако для линейной изменяющейся во времени системы переходную матрицу можно получить только в отдельных случаях, часть из которых рассмотрена в § 3.7.

Связь между матричным уравнением в переменных состояния линейной инвариантной во времени системы и передаточной функцией этой системы рассмотрена в § 3.5.

Вопрос о том, существует ли управляющий сигнал (0. переводящий систему X = f {х, и, О из некоторого данного состояния в некоторое другое зависит от свойства управляемости системы. Ответ на этот вопрос существует только для линейной стационарной системы. Основным положением здесь является то, влияет ли на данную переменную состояния данная составляющая управляющего сигнала. Исследование управляемости линейной стационарной системы сводится к определению ранга матрицы, зависящей от А и В (см. теорему 3.4).

Возможность определения начального состояния системы по записи, выходного сигнала на конечном интервале времени зависит от свойства наблюдаемости системы. Этот вопрос опять полностью разрешим только в слу-

чае линейных стационарных систем; причем необходимые и достаточные- условия определяются теоремой 3.5.

Любой линейной системе х - А (f) х соответствует сопряженная система = -А* (t) if. Последняя в некотором смысле эквивалентна обращенной во времени исходной системе. Сопряженная система бывает иногда полезной при выполнении расчетов и играет важную роль при решении задач оптимизации. Она рассматривается в § 3.8.

Общего метода решения нелинейной системы, если не считать численных методов, не существует. Даже в классе линейных систем имеются системы, е поддающиеся описанию уравнениями в переменных состояния.

3.1. Для системы

3.11. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ 1

выберите переменные состояния, при которых элементы ма-

трицы А получаются комплексными. Найдите матрицы Л, Я и е. Найдите- сопряженную систему. Все повторить при новых переменных состояния, выбранных из условия обеспечения действительных элементов матрицы А.

3.2. Покажите, что матрица {t, to) может быть найдена из матричного дифферен-иального уравнения

-L.o-it,to)=-0-Ht,to)A

при начальных условиях Ф {to, о) = / [У к а s а н и е. Целесообразно начать с рассмотрения -(ФМ. to) Фи, to))].

3.3. Для системы, характеризуемой матрицами

покажите, что матрица [Ь, АЬ, . . . А Ь] при bg-O является особой.

3.4. Сформулируйте условия, наложение которых на линейную автономную систему лелает начало координат единственным равновесным состоянием.

3.5. Покажите, что в общем случае линейной нестационарной системы х = А (t) х переходная матрица Ф (t, to) может быть получена в виде ряда Неймана

( t т,

0{t, to) = I+ А (T)dTH-л (Ti) I Л (T2)dT2rfTi +

t Т,

J А (Ti) j A (Та) J A (Тз, rfTg rfTa dti + .

(Указание: дифференцируйте обе части этого выражения по t).

3.6. Если на систему действует входной сигнал стандартного вида (например, синусоидальный), то эту систему можно преобразовать в свободную, добавляя новые переменные состояния. Например, синусоидальный сигнал с частотой а можно рассматривать как выходной сигнал автономной системы 2 соответствующим образом выбрать начальные

условия. Следовательно, за счет добавления двух новых переменных состояния рассматриваемая система, находящаяся под действием входного сигнала, преобразуется в автономную систему.

Используя изложенный подход, найдите реакцию системы -;-;-г- на входной сиг-

р(р + а)

нал А sin (nt путем определения переходной матрицы преобразованной системы. Сравните получающиеся при этом затраты труда со случаем непосредственного применения уравнения (3.22).