Поскольку функция / (е) нечетно симметричная, сразу следует, что

Р = О, п= О, . . .; Cam

Нас интересует лишь а-, равное

= О, п= О, . . .; I , = О, т = 1, . . . 1

1 =

и (t) sin at d {(ut).

(6.18)

(6.19)

Интегрируя (6.19) и используя соотношение (6.16), получим

Ае , % = < 2 arcsin

/ В \

- sin

2 arcsin

, 4Л -cos

arcsin -

(6.20)

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи для характеристики, описываемой

соотношением (6.15), тогда равен

iV (е, ы) == Л? (е) =2 arcsin --sin 2 arcsin [--cos arcsin- , (6.21)

которая, как это видно, является действительной величиной, не зависящей от частоты и входного сигнала.

Если зафиксировать А, то, устремив В к нулю в равенстве (6.21) после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя, получим

Л(е)=-. (6.22)

При устремлении В к нулю в уравнении (6.15) получается характеристика идеального реле; отсюда следует, что идеальное реле с уровнем А будет иметь эквивалентную передаточную функцию вида (6.22).

Пример 6.3. Обратимся вновь к примеру 5.21. Определим существование и устойчивость предельного цикла, принимая параметры равными

Пусть

ао= 10 рад/сек; о= 0,105; А =1,0.

/ {Xi) = k + п (Xi),

где п (xi) - симметричная характеристика вида

k 1;

п (Xl) =

Допустим, что

kxi, Xil<l; -К Xi -1.

Xl (t) = Xl sin о / = Хщ (0.

(6.23)

(6.24)

(6.25)

тогда эквивалентная передаточная функция для характеристики п (х в соответствии с выражением (6.21) будет равна

(6.26)

Из соотношения (5.69) следует, что

Xl (t) = оР/ (1 (0)

Теперь

Pf (xi (t)) = -- / (1 (0) = -- [fe + n (0)] = pn (0)-

(6.27)

Заменяя n (x) эквивалентной величиной [iVj(Xi) Хщ, получим

p2+2(uooP + (u2

Xmit)-

(6.28)

Из выражения (6.28) можно получить следующее характеристическое уравнение:

% + [2о - N (х)] + ml = 0. (6.29)

Таким образом, характеристическому уравнению могут удовлетворять чисто мнимые

корни Я, = ± /о о, если N (х) = 2о.

Из условия гармонического баланса следует, что существует предельный цикл с амплитудой Хщ, задаваемой условием

N (хю) = 2о.

(6.30)

Интересно отметить, что липь при k 2go выполняется условие гармонического баланса. Ррнее Б примере 5.21 было показано, что это условие является необходимым и достаточным для существования предельного цикла. Таким образом, в этом частном случае условие существования предельного цикла, получаемое из метода гармонической линеаризации является правильным.

Для того чтобы установить устойчивость предельного цикла, отметим, что эквивалентный

коэффициент передачи нелинейности типа насыщения уменьшается с ростом амплитуды Xi

(рис. 6.7). Если амплитуда х превышает Хц то эквивалентный коэффициент передачи уменьшается. Это в соответствии с уравнением (6.29) указывает на устойчивость системы. По той же

причине при уменьшении х по сравнению с х, N (ху) становится больше N (хщ), поэтому в силу уравнения (6.9) система неустойчива. Отсюда следует, что предельный цикл обладает свойством асимптотической орбитальной устойчивости. Для заданных численных значений параметров имеем

21, = 0,21 = N (хм) = -!г- J 2 arcsin

2 arcsin

- cos

Xtjo

arcsin

Решая последнее уравнение графически относительно Хщ. получим х = 6,00.

Нелинейная характеристика, описываемая уравнением (6.15), при А = = 5 = 1 называется нелинейностью с единичным уровнем ограничения и обозначается как / (е). Свойства этой характеристики чрезвычайно важны, так как позволяют оценить влияние нелинейностей с другим уровнем ограничения и иными статическими характеристиками (см. например, упражнение 6.3). Из уравнения (6.26) следует, что-передаточная функция для / (е),

обозначаемая как Ni (е), равна

.1,1

arcsin - -Ь

(6.31)

Числовые значения для iVj (е) с пятью десятичными знаками приведены в табл. 6.1. В табл. 6.2 приводятся эквивалентные функции для однозначных нелинейностей (см. строки 1-19).

Таблица 6.1*

Числовые значения эквивалентного передаточного коэффициента для нелинейности типа насыщения Ni {х) ** (по Магнусу)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 30 40 50 60 70 80 90 100

1,00000 0,60900 0,41642 0,31496 0,25294 0,21122 0,18127 0,15874 0,14118 0,12711 0,11559 0,10598 0,09784 0,09087 0,08482 0,07952 0,07485 0,07070 0,06698

0,06363 0,04243 0,03183 0,02546 0.02122 0,01819 0.01591 0,01415 0.01273

Интервал 1x20 с шагом 0.1

0.96755 0.58254 0,40348 0,30744 0,24804 0,20779 0,17873 0,15679 0,13963 0,12586 0,11455 0,10511 0,09710 0,09022 0,08426 0,07903 0,07441 0,07031 0,06663

0,06061 0,04106 0,03105 0,02496 0,02087 0,01793 0,01572 0,01399

0,92037 0,55815 0,39131 0,30026 0,24333 0,20447 0,17627 0,15489 0,13812 0,12463 0,11353 0,10425 0,09636 0,08959 0,08370 0,07854 0,07398 0,06892 0,06628

0,05785 0,03978 0,03031 0,02448 0,02053 0,01768 0,01553 0.01384

0,87163 0,53561 0,37984 0.29341 0,23880 0.20125 0,17387 0.15303 0,13664 0.12342 0,11253 0.10340 0,09564 0.08896 0.08316 0,07806 0.07356 0,06954 0,06594

Интервал

0,05534 0,03858 0,02961 0,02402 0,02021 0,01744 0,01534 0,01369

0.82474 0,51474 0.36901 0,28686 0.23443 0,19813 0.17153 0.15122 0,13519 0.12224 0,11154 0.10257 0,09493 0.08835 0,08262 0.07759 0,07313 0.06916 0,06560

20x100

0.05303 0.03744 0.02893 0.02358 0,01989 0.01720 0,01516 0,01354

0,78090 0,49537 0,35877 0,28059 0,23022 0,19511 0,16926 0,14945 0,13378 0,12108 0,11058 0,10175 0,09423 0,08774 0,08209 0,07712 0,07272 0,06879 0,06526

с шагом 1.0

0.05092 0.03637 0.02829 0.02315 0,01959 0.01697 0.01498 0.01340

0.74040 0,47735 0.34907 0.27459 0,22615 0,19217 0,16704 0,14772 0,13239 0,11994 0,10962 0.10094 0.09353 0.08714 0.08156 0.07665 0.07230 0.06842 0.06493

0.04896 0.03537 0.02768 0.02273 0,01929 0.01675 0,01480 0.01326

0,70319 0,46055 0,33988 0,26884 0,22222 0,18933 0,16489 0,14603 0,13103 0,11882 0,10869 0,10015 0,09285 0,08655 0,08104 0,07620 0,07190 0,06805 0,06460

0,04715 0,03441 0,02709 0,02233 0,01900 0,01653 0,01463 0,01313

0,66906 0,44487 0,33115 0,26333 0,21843 0.18656 0,16279 0,14437 0,12969 0,11772 0,10777 0,09937 0,09218 0,08596 0,08053 0,07574 0,07149 0,06769 0,06428

0,04546 0,03350 0,02652 0,02195 0,01872 0,01632 0,01447 0,01299

* См. сноску под табл. 6.2 на стр. 153. ** Здесь n д = ~

arcsin

tia стр. lod.

[тУтУЧтУ]