Отметим, что периодическая система, как сказано выше, не обязательно производит периодический выходной сигнал с тем же периодом Т. Когда же это имеет место, существует периодическое решение вида

.x{t) = xAt + T). (11.71)

В гл. 5 показано, что, осуществляя линеаризацию относительно траектории и используя теорему 5.2, можно установить свойства равномерной асимптотической устойчивости траектории, если только линеаризованная система равномерно асимптотически устойчива относительно начала координат. При использовании теоремы 5.2 возникают две трудности: во-первых, при определении равномерной асимптотической устойчивости линейной системы; во-вторых, это требование зачастую оказывается слишком сильным. В некоторых случаях достаточно существования орбитальной асимптотической устойчивости. Интересные результаты получены для того случая, когда линеаризованная система периодическая. Сформулируем следующую лемму.

Лемма 11.4. Рассмотрим периодическую линейную систему

xA{f)x, (11.72)

тт А [t -\- Т) = А (t) для некоторого Т ф 0. Пусть переходная матрица системы Ф (t, to) ограниченна и = 1, . . ., п - суть собственные значения матрицы Ф {to 4- Т, to), тогда имеем

1) Ф ( + пТ, to + nT) =Ф {t, to); (11.73)

2) если I <С 1 для всех i = 1, . . ., п, то исходная система (11.72) равномерно асимптотически устойчива в целом.

Доказательство.

Так как А (t) - периодическая система с периодом Т, то выходя из состояния лГоД момент t, она приобретает ту же скорость л:, как если бы начиналось движение в момент t 4- Т или t -f- пТ. Это значит, что если х [to) = = Xoii X (to + Т) = Хо, то л: ( -f 7 ) =х (t) для всех to и t, т. е. равенство (11.73) немедленно выполняется. Таким образом, условие 1) мы доказали. Условие 2) можно доказать, используя х-преобразования (см. приложение II).

Пусть

Ф (Z, о) - S Ф (0 + пТ, to) (11.74)

Согласно выражению (11.21) приложения II, если Ф (z, to) - аналитическая функция в области \z\ 1, то Иш )Ф (о + пТ, to)\\ = 0. Но так

как Ф (to + пТ, to) = [Ф (0 + Т, to)] , то необходимым и достаточным условием сходимости нормы ))Ф (to -]- пТ, tl к нулю при п оо является

требование \Ф{to+T, /о)<1. Следовательно, если Ф (z, t - аналитическая Б области I z) 1 для всех to, то ) Ф (/ + Т, to) \ < 1 для всех to.

Применяя z-преобразоБание к обеим частям очевидного равенства Ф (/о + (п + 1) Т, to) =Ф{to + пТ, to) Ф {to + Т, to), получим, используя формулу (11.146) приложения П,

Ш - Ф (/о + Т, to)]Ф (Z, to) = гФ {to, to) = zl, (11.75)

где / - единичная матрица. Характеристическое уравнение для матрицы (11./5) задается выражением

\ф{to + T, to)-n\ = 0. (11.76)

Таким образом, если все корни в уравнении (11.76) удовлетворяют

условию \t,i\ < 1, то функция Ф (z, to) - аналитическая в области z 1, что, как показано выше, предполагает существование такого р (не зависящего от to), что IIФ (to + Т, о) < Р < 1 для любых 0-Положив = 0 + пТ -+- т, где О т Т, имеем

\\xito + nT-x)\\ = \\Ф{to + nT-t, to + nT)x{to+nT)l =

= IIФ (0 + т. о) (0 + ПТ) II = II Ф {to + Т, to) Ф {to + ПТ, to) X {to) II <

<ф.р 1к(д

д .

при О < р < 1, где = тахЦ Ф {to Л- т, to) Ц-

Следовательно, для любого е > О найдется б, а именно: б = е/Ф (не зависящее от to) такое, что если Цл: (/о)II <б, то х (о + 011==11-* (о + -f пТ + т) < ер < е при О р 1 для любых to, тип.

Это и означает равномерную асимптотическую устойчивость в целом.

С помощью леммы 11.4 можно установить следующий важный результат *:

Теорема 11.8.* Пусть для системы X = f {х, t) уравнение возмущенного движения относительно заданного периодического х {t) = х {t + Т), Т ф Ф О, задается выражением

6x =

8x-\-h{8x, t).

(11.77)

где бл: {t) =х {t) - х (t), [{df {t)ldx)]n - периодическая функция с периодом Т и пусть IIА (л:, 01Ибл О равномерно при блгЦ - 0.

Пусть линейная система бл:=[(б/()/Эл:)]пбл: имеет переходную матрицу Ф (t, to) и li, i = I, . . ., п - собственные значения матрицы Ф (о + Т, to)-

Справедливы следующие утверждения:

1) Если исходная система имеет вид x = f{x, t) f{x, t -{- Т) (т. е.

i = 1,

система периодическая с периодом Г) и < 1 для всех то периодическое решение лг {t) асимптотически устойчиво.

2) Если исходная система автономна, т. е. х = f {х), всех t = 1, . . ., п, кроме одного = 1, то периодическое чиво и, кроме того, орбитально асимптотически устойчиво.

Пример П.З. Рассмотрим систему примера 4.4:

Xi = x - axi{x\ + 4~l);

x2 = -xi - ax{x\+xl~l).\

В примере 4.4 было показано, что система (П.78)имеет предельный цикл, определяемый выражением

sin t

(П.79)

И I I < 1 для решение устой-

(11.78)

cost

Линеаризованная система определяется матрицей

Г-2а sm4 1 - 2а sin t cost

-I -2a sin t cos t ~2a cos t

заданной выражением

(11.80)

(получите его самостоятельно).

* Теорема 11.8 основана на теоремах Андронова и Витта. Формулировку и доказательство теоремы см. в работах [31], [161].

Можно показать, что линеаризованная система имеет переходную матрицу

g-2c it-to) (sjjj sin f cos £,os e-2c u-to) (cos <o sin t - sin <o cos t) g-2 gjjj j,os у COS sin t) e~° (cos cos t + sin sin t)

(11.81)

(проверьте это).

Видно, что [df/dx ]п - матрица периодическая с тем же периодом Т = 2п, что и предельный цикл исходной системы (11.78). Из выражения (11.81) имеем

Фо + Т. <о) =

e-*(sin2<o--cos2) - (1 - е- ) sin o.cos to

(1 е-4 ) sin to cos to (cos to + sin to)

-ina

Характеристическое уравнение преобразуется к виду

I Ф {0 + Т. to) -VI = £ - (1 - е-* ) £ + (1 + е- ) (1 - cos 4<о)

-е-* (3+cos4i ) = 0.-

(11.82)

Корни уравнения (11.82) определяются формулами

Ь = 4- f 1 + cos 2to + е-* (1 - cos 2to)]; £o = 4-[l~cos2<o+e-4 (l +cos2o)]-

(11.83)

Отсюда следует, что значейия корней зависят от и а. Для а = --1 можно установить (покажите это), что самое большое один корень может достигнуть величины 1; остальные значения корней t,i всегда меньше единицы. Таким образом, предельный цикл, определяемйй условиями (11.79), не только устойчив, но согласно второй части теоремы 11.8 орбитально асимптотически устойчив.

Аналогично мы можем установить (проделайте это), что если а - -1, то условия устойчивости предельного цикла (11.79) не выполняются. Приведенные результаты сравните с примером 4,4.

Применение теоремы 11.8 требует отыскания переходной матрицы, что почти эквивалентно отысканию решения системы. Поэтому, на первый взгляд, применимость теоремы кажется довольно ограниченной. Мы должны отметить два положительных момента в теореме 11.8. Во-первых, можно найти переходную матрицу Ф (J, to), численно интегрируя матричное уравнение Ф = = [Э (Эд:] Ф, Ф {to, to) = I. Действительно, для применения теоремы 11.8 необходимо лишь получить Ф для одного периода от to до to -\- Т, а затем найти собственные значения t,i матрицы Ф {to + Т, to). Это легче, чем искать Ф для большого периода времени.

Во-вторых, для релейных систем можно найти непрерывное решение. Пример 11.4. Укажем этапы доказательства теоремы 8.4 *.

Для системы, рассмотренной в теореме 8.4, имеем у {f) = -е (О и g (О*) = 0. Из выражения (8.13а) при а= V2 и из соотношения (8.61) имеем

1ё{п/(о)\ е (я/ш) у {п/(о)

так что характеристическое уравнение (8.77) преобразуется к виду

(z) -(-1) = 0.

(11.84)

(11.85)

* Заметим, что для релейных систем возмущенные уравнения не выражаются через обычную процедуру взятия частных производных (см. материал, предшествующий теореме 8.2). Однако теорема 11.8 применяется к возмущенным уравнениям.