Пример 3.4. Функция / (л) = не удовлетворяет глобальному условию Липшица при некотором хо, хотя локальное условие Липшица легко найти для любого интервала конечной длины (покажите это самостоятельно).

Пример 3.5. Докажите, что некоторая разрывная по х функция не удовлетворяет условию Липшица в точке разрыва.

В некоторых имеющих практическое значение случаях f (х, {) имеет разрывы по переменной t на конечном (или счетном) множестве точек. Тогда к интервалам времени, не содержащим разрывов, теорема 3.1 применима, так что на этих интервалах существует единственное решение.

В случае свободной линейной системы, соответствующей уравнениям (3.3), имеем

х = А {ffx; х==Хо при t = (3.7>

Соответствующая теорема существования и единственности формулируется следующим образом.

Теорема 3.2. Если А (f) интегрируема в смысле Римана * на некотором интервале времени, то на этом интервале для системы (3.7) существует единственное решение**. Если, в частности, 4 (t) разрывна лишь в конечном числе точек, то существование и единственность решения гарантируются.

Теперь ясно, что существование и единственность решения всегда гарантируются, если линейная система стационарна. Это отчасти объясняет, почему так просто можно получать решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Если существование и единственность решения линейной свободной системы гарантируются, то, как будет показано в следующем разделе, существование и единственность выходного сигнала при заданном входном и (t) также гарантируются.

Система, удовлетворяющая требованиям существования и единственности решения в области R (Xq, о), обладает следующими свойствами:

1) для всех начальных условий Xq в области R и для всех значений времени в интервале \t - /о I с существует траектория системы с этими же начальными данными;

2) если в области R я в определенном интервале времени имеется два решения с одинаковыми начальными условиями, то эти решения в области R и в указанном интервале времени идентичны;

3) траектории системы относительно начальных условий л: о и начальных, моментов to должны быть непрерывны. Предлагаем ответить, почему.

Так как траектории авТОномных систем не зависят от начального момента to, указанное выше свойство в пункте 2 означает, что траектория автономной системы, удовлетворяющей требованиям существования и единственности, не имеет точек самопересечения.

В последующем будем предполагать, что рассматриваемые системы таковы, что единственность решения гарантируется.

3.3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

Для самого общего случая системы уравнений (2.5) нельзя указать единого подхода к отысканию решения, если не наложить дополнительных ограничений. Действительно, для таких систем, за исключением некоторых

* Матрица А (t) интегрируема в смысле Римана, если каждый ее элемент интегрируем. ** Однако в точках разрыва А (О производная х {f) и, следовательно, уравнение (3.7> не определены.

случаев, когда решение может быть найдено в замкнутой форме,- получение решения связано с применением численных методов.

В случае линейной системы (2.8) положение совсем иное. Хотя в нестационарном случае решение получается непросто, можно все же выразить решение через так называемую переходную матрицу системы. Для линейных систем с постоянными параметрами (стационарный случай) может быть найдено точное решение.

Пусть даны линейные уравнения в переменных состояния (2.8) и начальные условия лго- Требуется найти х (f), илиболее точно х (и, i; Xq, to), при заданном и в интервале [t, t]. Для решения этой задачи используем метод вариации произвольной постоянной, часто применяемый при решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами.

Пример 3.6. Применим метод вариации произвольной постоянной для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами, имеющего вид

х = a(t)x + и (0; X (to) = Хо. .

Обычный подход заключается в том, что ищется решение однородного уравнения (или решение свободной, т. е. при и (t) = О, системы). После разделения переменных и интегрирования это решение получим в виде

X (t)= k exp

где k - постоянная. Выражение

а (т) йт

= Ш (t, to).

Ф (t, to) - exp

a (x) йт

обладает следующими свойствами: 1) удовлетворяет уравнению©* -a(t)Ф, 2) удовлетворяет граничному условию Ф (о, to) = 1.

Чтобы найти частное решение методом вариации произвольной постоянной, считаем величину k функцией времени, т. е. х (t)= k (t) Ф (t, to). Беря производную по времени, получим

Л. . . d

x(t) =

но при учете имеем

O(t.io)+k{t)~0(t. to). x(t)=k(f)0 (t, to)

x(t)= a(f)k (t) Ф (t, to) + и (f). Производя сравнение соответствующих членов, найдем

... . Ф(. to) = u(t).

откуда

k(f)= k (to) + j (т, to) и (т) Л = (о) -1- j exp

<о to

Так как

определим окончательно

и (%) d%.

k (to) = (to, to) X (to) = X (to).

x(t)= k (t) Ф (t, to) = xo exp

a(T)rfT -f

а(т)йтИ exp - ja(v)dvU (T)

(3.8)

Рассмотрим теперь линейную систему м-го порядка, описываемую уравнением

x = A{t)x + B{t)u. (3.9)

Мы можем использовать тот же подход, что и в случае системы первого порядка. При помощи уравнения

= A{t)Ф {t, to); Ф (0, о) = / (3.10)

введем в рассмотрение матрицу Ф (t, to) типа пХп, называемую переходной матрицей. Будем далее искать решение в форме х (t) = Ф (t, tg) k (t), где параметр k предполагается функцией времени. Имеем

x = Ф(t,to)ffkit). (3.11)

Подставляя в уравнение (3.9), получим

Следовательно,

x = Ф{t, to)+A (t) Ф (t, to)k=A (t) Ф (t, to)k + B {t).n it). (3.12)

ФЦ, to)Bit)u{t), (3.13)

откуда

k(t) = c + \ Ф (1, o) В (ti) и (ti) dti, (3.14)

с = k (to) = Ф-1 (0. o) X (to) = X (to). (3.15)

Таким образом, искомое решение имеет вид

. хфФЦ, to)kit) =

= Ф (t, to) X {to) + Ф it, to) f Ф- Иг, to) В (i) и (ti) dti. (3.16)

Рассмотрим более подробно переходную матрицу. Прежде всего будем интересоваться условиями, гарантирующими существование Ф~ {t, to) Из уравнения (3.10) видно, что г-й столбец переходной матрицы может трактоваться как вектор yj (t, to), удовлетворяющий уравнению У1 = = А (t) у. Здесь вектор yi (to, to) имеет в строке, соответствующей рассматриваемой координате, единицу, а во всех остальных строках - нуль. Отсюда следует, что при существовании и единственности * матрицы Ф (t, to) столбцы этой матрицы образуют п независимых решений yi (t, to), i = I, . ., п системы у = Ay, Мы можем использовать этот факт для доказательства, что при всех матрица Ф (t, to) не особая, т. е., что определитель матрицы, Ф (t, to) нигде не обращается в нуль. Допустим, что существует ti, для которого Ф (1. о) = 0. Тогда (см. приложение I) при t = tjn столбцов у (ti, to)

* Существование и единственность Ф эквивалентны, конечно, сзществованию и единственности векторов у, удовлетворяющих уравнению у = Ау.