Выходные сигналы объекта х (f) и модели х (t), а также входной сигнал г (t) вводятся в управляющее устройство. Задача управляющего устройства заключается в том, чтобы сформировать управление и (t) для отработки желаемого процесса Ха (t).

Для этого класса систем существенно оценить разность е (f) между желаемым выходным сигналом и действительным; e{t)=Xa{f)-х (t). Если в фазовом пространстве переменной е (t) можно определить асимптотическую устойчивость в целом начала координат, то с течением времени объект будет все в большей степени подобен модели.

Если модель представляет линейную стационарную систему, а объект линеен, но нестационарен, то возможен следующий способ решения задачи:

Пример 9.14 (Л. П. Грей-x(t) сон *). Допустим, что объект описы-вается уравнением х - (f) Х + +Bi (О к, а модель задана уравнением 2 = Л + jB.jf, где Л 2 В - постоянные матрицы. Будем предполагать, что при г S О модель асимптотически устойчива. Это, ввиду следствия 9.4 означает, что существует положительно определенная матрица Q такая, что при

r(t)

Регулятор

объект тАуправления

Подепь систепы

Рис. 9.9. Структурная схема приспосабливающейся системы с моделью

будем Иметь

Vi (2) = zQz (9.59)

Fl (2) = - 2 {AlQ + QA2) 2 = - 2C2, (9.60)

Поскольку с = A2Q-\-QA2 положительно определенная матрица, то функция ,Fi (г) есть определенно отрицательная вдоль траекторий системы 2 = Лг-

Пусть £ = 2 - x; ДЛ=Л1(0-Л2 и АВ~Bi (t) - В2;

тогда

e = A2e - AAx - Bxit)u+B2r. (9.61)

Если выбрать функцию V (е) == eQe, где Q определена так же, как всоотношении (9,59), то

V (е, О = ёСе - 2е;[ДЛд: -f АВг + Вх(и - г)]. (9.62)

Поскольку с - положительно определенная матрица, то для функционирования адаптивной системы с моделью управление к (t) необходимо выбрать таким, чтобы выполнялось условие

[e{t)Q[AA(t)x{t)+AB(t)r{t) + + Bx(t)u(t)-rm

= О при ДЛ = AJS = 0; 0 в остальных случаях.

(9.63)

При выполнении этого условия функция V (е, t) в соотношении(9.63) всегда меньше или равна - еСе и начало координат фазовом пространстве сигналаГошибки асимптотически устойчиво в целом **.

9.8. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Второй метод Ляпунова дает достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости. Он же позволяет анализировать устойчивость в большом.

* См. работу [64 J, где даны И другие примеры синтеза, основанные на втором методе Ляпунова.

** Если выбранное управление не нарушает условие теоремы о существовании един- ственности решения системы уравнений (9.16) (Прим. ред.). ж

Достоинство метода заключается в том, что суждение об устойчивости можно вынести, анализируя лишь знак производной от некоторой произвольно выбранной функции фазовых координат системы при условии, что последняя совершает свободное движение. При таком способе анализа нет необходимости отыскивать точное решение исходных уравнений, что су-шественно упрошает задачу.

Предлагаемый метод не лишен недостатков. Во-первых, он дает лишь достаточные условия устойчивости, и поэтому, если проведенный анализ дал отрицательный ответ, то вопрос об устойчивости остался нерешенным и следует предпринять еше попытку, выбрав другую функцию. Если же был получен положительный ответ при анализе устойчивости, то определенная таким образом область устойчивости не является максимально возможной.

Во-вторых, не сушествует единой, пригодной во всех случаях, процедуры определения знака произвольной функции нескольких переменных. Это сушественно ограничивает возможный выбор функций Ляпунова, заставляя использовать в приложениях лишь квадратичные формы.

Наконец, сама идея суждения об устойчивости без всестороннего анализа поведения системы противоречит инженерной практике. Именно поэтому второй метод Ляпунова следует, по-видимому, рассматривать как полезное дополнение к другим методам.

Основное содержание,второго метода Ляпунова изложено в § 9.1. В § 9.2 приводится пять основных теорем об устойчивости в малом. В следующем параграфе (§ 9.3) эти результаты распространяются на случай анализа устойчивости в большом.

Для линейных автономных систем доказывается теорема 9.8, дающая необходимые и достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. На этой основе формулируется задача Лурье, для решения которой строятся специальные функции Ляпунова, позволяющие анализировать определенный класс систем, структура которых показана на рис. 9.5 и 9.6.

Для анализа систем с переменными параметрами сформулированные теоремы следует несколько видоизменить. В этом случае используются функции Ляпунова, возможно, нестационарные, ограниченные сверху стационарной функцией переменной л: (теоремы 9.9 -9.13). Анализ систем с переменными параметрами представляет значительные трудности, в чем убеждает нас анализ примера 9.12.

С помощью второго метода Ляпунова в принципе удается оценить и качество переходного процесса в системе (пример 9.13). Однако полученные в этом направлении результаты еще нельзя назвать значительными. Второй метод Ляпунова оказывается также полезным.при оценке работоспособностй-адаптнкной системы с моделью (пример 9.14).

9.9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

9.1. Выясните знакоопределенность следующих функций:

а) V (xj, х)=4 + 4X12 +4+ 23 + 4,

б) F(xj, 2) =л;1с05л;2 + л;

в) V (Xi, Х2) = sin % + sin Ха;

г) v{x x,xs)=:xt + xl4;

д) V{Xi Х2) = е +е .

Если функция знакоопределенна или знакопостоянна в некоторой ограниченной области, то следует указать эту область.

9.2. Используя подход, развитый в разделе 9.4, найдите множество всех значений К, для которых система, показанная на рис. 9.10, имеет асимптотически устойчивое положение равновесия в начале координат.

9.3. Рассмотрим системы, линеаризованные уравнения которых имеют некратные комплексные корни. При условии, что все эти корни расположены в левой полуплоскости (Re X,- < О для всех i), подыщите подходящую функцию Ляпунова и докажите, что начало координат асимптотически устойчиво (представьте уравнения системы в канонической форме).

9.4. Уравнение движения некоторой массы, подвешенной на мягкой пружине, с демпфером запишется в виде

а) используя в качестве функции Ляпунова полную энергию системы, покажите, что начало координат асимптотически устойчиво;

б) определите максимально возможную область Si, вблизи начала координат, для которой выбранная функция Ляпунова обеспечивает асимптотическую устойчивость.

9.5. В теории связи для фазовой синхронизации используется контур, описываемый уравнением х-\- (а-\- b cos х) х + с sin х = О, где а >fc>- О и с>- 0. Используя функцию

rW = B e(t)

V [х, х) = с (I - cos х) -\-

определите границы

области фазового пространства, внутри которой контур асимптотически устойчив. Сравните е результатами упражнения 5.16.

9.6. Пусть задана система (Е. П. Попов)

4 = - Xi + f X2 = -f(X3); 4 = ( У - 1) % + № - hf (хз).

Рис. 9.10. Структурная схема системы к упражнению 9.2

где функция / определяется следующим образом:

f (Хз)= о, Ixglfli;

. - с, Xss - a,

а на интервалах % < Xg <; и -<; Хз <; -функция f (хз) является гладкой;

а) опрйделите положения равновесия системы;

б) если Y> О, определите устойчивость системы относительно положений равновесия, используя функцию Ляпунова вида

V (X) = 1 (Ч) dx;

в) изобразите структурную схему системы в таком виде, чтобы можно было воспользоваться методом гармонического баланса. Какие выводы о системе можно сделать, используя последний метод?

9.7. Уравнении Лурье для систем прямого регулирования. Рассмотрим систему, показанную ria рис. 9.5, и предположим, что G (р) характеризуется лишь действительными, различными и отрицательными полюсами, а / (е) удовлетворяет условиям (9.17). Читателю предлагаем:

а) показать, что уравнения системы можно записать в виде

X = Ах-\-b f (е); е=сх; = dX,

где Л - диагональная матрица собственных значений линейной части; b - единичный вектор-столбец;

с - некоторый вектор-столбец, состоящий из констант; d = Ас;

б) показать, что при произвольных действительных числах k-, . . ., /г матрица G, общий элемент которой равен Gj/ = - kikj (ki + kj), положительно определенная, если -О для всех Предлагаем показать самостоятельно, то xGx при люоом х можно записать в виде

(xw (t)f dt.

где И) (О - п-мерный вектор-столбец; i-я компонента которого равна /ге;