Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Другая крайность заключается в рассмотрении системы с коэффициентом усиления вместо нелинейного элемента. Из частотного критерия устойчивости следует, что для устойчивости замкнутой системы коэффициент усиления должен быть меньше, чем коэффициент, соответствующий пересечению годьграфа G Оо) с отрицательной полуосью действительной оси. На рис. 10.3а эта точка обозначена {-1К). Следовательно, максимальный коэффициент усиления должен быть меньше К (рис. 10.36). Та часть плоскости переменных {и, е), в которой может располагаться нелинейная характеристика и = [е (0. называется сектором Попова; допустимая область расположения линейных управлений вида и = he определяет угол Гурвица.

ImG(jcj)

ImGlJu)

arctg qui

0 \ ReGUu)

J ?LO=0

k 1


Рис. 10.4: a) Иллюстрации условий устойчивости (10.19) и (10.20); б) Различное расположение прямой Попова на плоскости О (/со) при 9 < О

Поскольку стационарное линейное управление и = he удовлетворяет условию (и/е) € 10, К] для О /I /С и для линейных систем угол Гурвица определяет наибольшую область, в которой система устойчива, то ясно, что этот угол будет всегда больше или равен сектору Попова.

Перейдем к анализу общего случая, когда д ф 0. Выбирая подходящее значение д, мы можем расширить сектор, в котором должна располагаться характеристика нелинейного элемента. Однако при этом накладываются ограничения на сам вид нелинейности. Например, в силу условий теоремы 10.1, если q может принимать любое действительное значение, то нелинейная характеристика должна быть обязательно стационарной и однозначной.

Условие (10.19) можно переписать в следующем виде:

ReG(/o))> --1-4-0)9 ImG (/со); (10.20)

оно означает, что для любой частоты о годограф G (/ю) должен располагаться правее прямой, определяемой уравнением

Re G (; ) = --f 91ш G (/ ).

Эта прямая называется прямой Попова и показана на рис. 10.4а. Наклон прямой зависит от произведения 9 (рис. 10.46). Значение д необходимо выбрать таким, чтобы для любой частоты ю кривая G (jo) располагалась правее прямой Попова, соответствующей этой частоте. Для того чтобы упростить выбор q, воспользуемся следующим преобразованием [1].



Для этого определим модифицированную частотную характеристику линейной части с передаточной функцией G (s) следующим образом:

G* (/со) = Re G (/со) + /о Im G (/о),

другими словами.

Re G* (/(о) = Re G (/ю); Im G* (/со) = ю Im G (/о).

(10.21)

Годограф G* (/со) нетрудно построить, умножив мнимую часть G (/&)) на величину со. С учетом выражения (10.21) условие (10.20) можно записать в виде

Re G* (/со) > -L + 9 Im Q* (/со). (10.22)

arctgq

lrnC*(jiJ)


Прямая Попова

Рис. 10.5: а) Прямая Попова на плоскости О* (/со) для 9>0, приемлемая для однозначных нелинейностей и нелинейностей с гистерезисом; б) Прямая Попова для 9 < О, пригодная для систем с однозначной нелинейностью и пассивным гистерезисом

Последнее означает, что прямая Попова на плоскости G* (/со) определяется уравнением

Re G* (/(О) + 9 Im G* (/со)

и не зависит от частоты. Это положение иллюстрируется с помощью рис. 10.5а, б, рассматривая которые, можно сделать интересный вывод. Допустим, что нам удалось провести касательную к годографу G * (/со) в точке его пересечения с отрицательной частью действительной оси, когда весь годограф расположен правее этой прямой. Пусть эта точка имеет абсциссу (- C). Тогда К не только определяет максимальный возможный коэффициент усиления линейной системы с / (е) = he, но и определяет наибольшее возможное отношение / (е)/е. Для такой системы выполняются гипотеза Айзермана и условия существования абсолютно асимптотически устойчивых управляющего и выходного сигналов. Следовательно, если система (10.1) линейна, стационарна и w (f) = he {() и для нее существует асимптотически устойчивое управление и асимптотически устойчивый выходной сигнал для всех О Я /С, то система с произвольной стационарной однозначной нелинейной характеристикой и {{) =f {e{t)) также характеризуется асимптотически устойчивым управлением и асимптотически устойчивым

Это следует из частного критерия устойчивости.

О гипотезе Айзермана говорилось в гл. 5 в связи с изучением абсолютной асимптотической устойчивости.



выходным сигналом, поскольку f{0)=0 и Of {е)1еК- Отметим, что выполнение гипотезы Айзермана совместно с условием существования абсолютно асимптотически устойчивых сигналов управления и выхода означает.что сектор Попова и угол Гурвица совпадают.

Как правило, удается провести касательную такого вида. Таким образом, гипотеза Айзермана, будучи несправед-


u(t)

C(p)=

(p*2}(p-H.5)

Рис. 10.6. Пример, для которого сектор Попова меньше, чем угол Гурвица. Гипотеза Айзермана при этом не выполняется

Рис. 10.7. Нелинейная система с запаздыванием к примеру 10.4

лива для всех случаев, охватывает значительный класс систем, используемых на практике. Этот вывод согласуется с нашими замечаниями к гл. 5.

На рис. 10.6 показан случай, когда гипотеза Айзермана не выполняется. Тогда Ki > К, и, следовательно, угол Гурвица больше, чем сектор Попова. Заметим, что сектор Попова выделяет область, в которой выполняются достаточные, но не необходимые условия существования абсолютно асимптотически устойчивых управляющего и выходного сигналов. Поэтому, если К <if (е)/е < < Ki, то может оказаться, что в нелинейной системе сигнала управления и выходной сигнал являются абсолютно асимптотически устойчивыми. Таким образом, если характеристика f (е) располагается вне сектора Попова, то никаких суждений об асимптотическом поведении сигналов в системе сделать нельзя.

Пример 10.4. Для системы второго порядка с запаздыванием, показанной на рис. 10.7, определить максимально возможный коэффициент К, при котором имеется абсолютно асимптотически устойчивый выходной сигнал для (м/е) [О, /С].

Для линейного элемента заданы следующая реакция на начальные условия ео (О и импульсная переходная функция!

ео (t) = eie-i + е--;

g (О = (-1) - (10.23)

2е-2<-1)] ,( 1).


Рис. 10.8. Годограф G* (/со) = Re G (/со -f -f- /со Im G (/со) для линейного элемента системы, изображенной на рис. 10.7

где и 20 определяют начальные условия, а [х ] (t) - единичная ступенчатая функция. Заметим, что здесь линейный элемент устойчив. Годограф G* (/со) показан на рис. 10.8.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.