11.9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

11.1. Определите, является ли каждая из следующих систем устойчивой при ограниченных входном и выходном сигналах:

(указание: образуйте разность, вычитая из заданных уравнений уравнение для приближенной системы у-\- у = г (f), и используйте лемму Беллмана-Гренвилла).

11.2. Докажите теорему 11.5 (указание: это теорема следует из теоремы 11.2).

11.3. Для случая, когда система (11.38) стационарна, докажите теорему 11.5 независимо от хода доказательства, данного в предьщущей задаче, рассмотрев расположение полюсов передаточной функции G (s).

Какие дополнительные условия должны быть наложены, чтобы теорема, обратная теореме 11.5, была справедлива, т. е. когда из устойчивости при ограниченных входном и выходном сигналах следует асимптотическая устойчивость стационарных систем при нулевом входном сигнале.

11.4. Рассмотрите систему вида

x{t) = [A+B{t)]x(t)+r(t), (11.116)

где А - постоянная матрица, такая что система у (t) = Ау {f) асимптотически устойчива. t

Считая, что j IIВ (т) d оо, докажите следующее:

а) при г (f) = О все решения х (t) ограничены (у к аз а н и е: используйте лемму Беллмана-Гренвилла) ;

б) при Г (О S О все решения х (t) -> О при t -> 0;

в) при г {f) = О начало координат (11.116) равномерно асимптотически устойчиво;

г) система (11.116) устойчива при ограниченных входном и выходном сигналах.

11.5. Покажите, что для линейной периодической системы, приведенной в примере 5.17, условие 2) леммы 11.4 не удовлетворяется.

11.6. Докажите следующую теорему (теорема 11.12): система с обратной связью (11.39) устойчива в целом при ограниченных входном и выходном сигналах, если \и (f)\ = = \ [е (t), I t/ < оо, а линейный элементимеет устойчивый выходной сигнал. Оцените важность этой теоремы.

11.7. Покажите, что последовательность {/ (0)= {arctg (п/)}, определенная в пространстве С [-1, 1] примера 11.5, не образует последовательности Коши. Покажите, что lim / (/) не является непрерывной функцией.

п->со

11.8. В условиях примера 11.5 для любого заданного элемента {t) банахова пространства С [i, /g] постройте последовательность Коши, сходящуюся к некоторому элементу / (f).

11.9. Покажите, что нормированное функциональное пространство примера 11.6 является банаховым пространством (указание: докажите, что пространство является полным, используя разложение в ряд Фурье каждого элемента последовательности Коши).

11.10. Рассмотрите стандартную систему (рис. 11.1) с нелинейностью в виде единичного ограничения и [g<Q] = j п i j- io\ Предполагая, что г (f) задано в виде

{S -\- 1) (S -г Ао)

я sin 3t, найдите приближенное решение, используя метод эквивалентной передаточной функции, а затем улучшите его с помощью приема Сандберга (§ 11.7).

11.11. Рассмотрите систему с обратной связью в стандартной форме с нелинейностью в виде единичного ограничителя. Покажите, используя теорему 11.7, что достаточным условием отсутствия явления скачкообразного резонанса, т. е. единственности каждой реакции на периодическое возбуждение г (f), является условие Re G (/со) > -1.

11.12. Составьте таблицу, сравнивающую все теоремы и леммы в гл. 5, 9-11. Не выписывая каждую теорему или лемму, классифицируйте их по следующим признакам: 1) для каких систем она применима; 2) содержание; 3) номер теоремы и автор; 4) область применения; 5) метод доказательства.

Например: 1) автономная система л: = / (х); 2) устойчивость по Ляпунову состояния равновесия; 3) 5.1 (Ляпунов); 4) связывает устойчивость линеаризованной системы, получаемой при малом возмущении около положения равновесия, с устойчивостью этого положения равновесия; 5) линеаризация вблизи положения равновесия.

11.13. Рассмотрите основные системы с обратной связью (см. рис. 11.1): а) если г (i) = О,

то каков наибольший сектор при G (р) = --j-, в котором гарантируется существование

абсолютно асимптотически устойчивого управления с коэффициентом затухания а, когда нелинейный элемент нестационарный (стационарный);

б) каков наибольший сектор расположения характеристик нелинейного элемента в обоих случаях (пункт 11.13а) для устойчивости в целом при ограниченных входном и выходном сигналах, как это показано на рис. 11.1.

11.14. Рассмотрите нестационарную линейную систему:

e(Q+2е(0+й(Ое(0= О, \k{t)\<K;

а) применив частотный критерий, определите, каково значение К, гарантирующее устойчивость выходного сигнала и асимптотическую устойчивость в целом;

б) определите К, гарантирующее асимптотическую устойчивость в целом, применив теорему 11.1.

11.15. Рассмотрите систему с обратной связью, заданную в виде е (t) = г (t)-y (t); и (t) = Sr [е (t), t]; у (О = м (/ - Т) при Т = 2.

а) для г (/) = О и нестационарного нелинейного элемента, каков сектор гарантирующий абсолютную асимптотическую устойчивость выходного сигнала;

б) пусть г (f) = О и нелинейный элемент задается в виде и= 0,0001е-Ь и, где

-2-ее, еео; 0

2, е > ео;

-2, е < ео.

Определите значения ео, обеспечивающие устойчивость выходного сигнала:

в) для произвольного г (t) и нелинейного элемента из пункта б) найдите, какое значение ео гарантирует устойчивость в целом при ограниченных выходном и входном сигналах;

г) для той же самой системы [см. пункт в) ] определите, какое значение ео обеспечивает устойчивость переходного процесса?

11.16. Рассмотрите одноконтурную систему (см. рис. 11.1) с безынерционной нелинейностью, удовлетворяющей условию (11.65). В соответствии с результатом §11.5, если -р-> -г- ,

то в системе не могут возникать явления скачкообразного резонанса при синусоидальном г {t) в случае, когда годограф линейного объекта либо не окружает, либо не пересекает круга,

проходящего через точки--г- и--г-- Покажите, что при использовании метода эквива-

лентной передаточной функции для избежания явлений скачкообразного резонанса можно найти запретную область годографа для G (р), которая всегда заключена в круге, определенном выше.

11.17. (Р. Бейкер и А. Берген). Рассмотрите систему, приведенную на рис. 11.5, где нелинейность задается в виде / (е) = 50е (1 -Ь sin 2зте), а линейный объект описывается выражением

Покажите, что:

а) при л (Q S О система является равномерно асимптотически устойчивой в целом.;

б) однако существуют входные сигналы, удовлетворяющие условию / (О I 1> которые могут вызывать неограниченные входные сигналы (указание: покажите, что система может быть преобразована в нестационарную систему, приведенную в упражнении 5.22).

11.18. Завершите доказательство теоремы 8.4, гл. 8, согласно пунктам примера 11.4.

11.10 УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Литература, относящаяся к настоящей главе, довольно разнообразна. Материал этой главы более широко освещается в книге [67].

Основные положения этой главы изложены в работах: лемма Беллмана- Гренвилла [102]; теорема 11.2 [13], [98] и [158]; устойчивость в малом при ограниченных входном и выходном сигналах [55]; устойчивость в целом при ограниченных входном и выходном сигналах [17], [175], [177], [178] и [194]; устойчивость переходного процесса [145] и [203]; устойчивость периодических решений [31] и [151] и применение теоремы о неподвижной точке сжатого отображения [79], [109] и [175].

Раздел III

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

КАЧЕСТВО И ОПТИМАЛЬНОСТЬ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ВЫРОЖДЕННЫЕ И ОСОБЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯМИ ЕГО ВОЗМОЖНОСТИ