Aloa=(Al + kM)-j<roo.

(III.42)

При О 9 < оо справедливо неравенство (П1.28). Так как должны быть удовлетворены условия теоремы 10.1, имеем О и (t) е {() Ке (f). В соответствии с леммой 10.1 е (оо) = О, поэтому для двух криволинейных интегралов в неравенстве (П1.28) получим

е (со) е (0)

и (t) de (t) = 0; \ u(t)de{t)-eO)c\\x{0)\\. (П1.43)

ОГо+Гсо ОГо

Последнее неравенство вытекает из предположения о том, что и/е£ [О, К] при О < Ж;сю и из выражений (10.24) и (П1.40).

В сочетании с неравенствами (П1.41) и (П1.42) неравенство (П1.28) принимает вид

Ju()%J л; II (0)11 +

к 1

i! л; (0)11,

откуда следует условие (П1.36) с

иа, 26 а

4g2 Оа

< ОС.

(П1.44)

Доказательство теоремы 10.2. С учетом выражений (1П.38) можно написать I! X (О II Me- * II X (0) II + 6М j е- (-г) ы (т) I dx,

(П1.45)

in \

\i=l /

При использовании неравенств Шварца и выражения (П1.36) получим

/со \ 1

х(011Л1е- х(0)

ьм ькиа

(t)dt

х(0).

(П1.46)

Из последнего неравенства следует, что для каждого значения 6 > О существует такое i (8) > О, а именно:

6(8) =

1 1 Д Г2

что при IIX (0) II < 6 выполняется условие х (t) \\<i в для всех 0. Таким образом, решение х = О устойчиво по Ляпунову. Для доказательства (асимптотической устойчивости в целом необходимо показать, что х (О -> О при ->-оо для каждого х (0). Из неравенства Минковского, соотношения Парсеваля и выражения (П1.36), получим

1 /со \ 1 \

\\x(t)fdt

;Л1х(0)

2я J

х(0) + ш( sup ,. Л

-oo<tO<co l/W

/(/ш) 1/ш + аР

ф dt

da

К 2а

х(0)<оо.

(П1.47)

Равенство (III.47) удовлетворяется лишь в том случае, если x(->0 при -s- оо что, в свою очередь, возможно только, когда х (t) -> О при t -> оо (проделайте это упражнение самостоятельно). Этим завершается доказательство теоремы.

И 1.5. Схема доказательства леммы 11.3

Приведем детальное доказательство леммы 11.3 для общего случая 9=0, u{f) = = [е (f), t] я 0<i Кгоо. Для других случаев ограничимся схемой доказательства.

Так как линейный элемент устойчив на выходе с коэффициентом затухания б при достаточно небольшом значении 8 > О, то существует такое 8 > О, что eg (f) 5 2 и Sa на интервале (О, оо) (см. § П1.1 и определение 10.3). Выберем теперь е (0< e<;ej и преобразуем переменные системы следующим образом: >

e*e(t).u(t)eu(t). ge(t) =e*g(t) при0<е<е1.

Кроме того, примем

еоЕ(0 = е [ео (t) + г (t)], О < е < е.

(т.48)

(П1.49)

Тогда систему (11.39) можно представить в следующем виде:

68(0 = 608(0- Г8(-т)Ые (1) Л, (О = S tee (0. П- . (1П.50)

Как и в § 10.5, если ule 9 [а, b], то щ,1е 5 f*. Пусть все условия теоремы 10.1 удовлетворены для невозмущенной системы. Тогда условие (10.19) вьшолняется, а это означает существование такого 6о> О, что

Re [(1 + }щ) G(/ш)] L 6о > 0.

Далее, так как е *>g (f) g Sl и S, преобразование Лапласа S {eg (f)] = 0 (s - Ej} существует и является аналитическим в области Res 0. Поэтому G (s) - Ig (t) ] является аналитической в области Re -8, а это означает непрерывность G(s) в области Re -е.

Следовательно, существует такое е (0< е<; е), что

Re[(l+/039)G(/03-8)H--6>0, .(111.51)

где О < 6 бр.

Так как G (s - е) = 2 [ge (f)], то условие (III.51) представляет собой условие Попова для преобразованной системы (III.50).

Теперь можно привести доказательство, аналогичное доказательству теоремы 10.1 (см. § III.3) для системы (III.50) с учетом, однако, того, что член бое (0. определяемый в выражении (III.49), не удовлетворяет требованиям теоремы 10.1, так как бое (О I ~* оо при t -> 00.

Можно достаточно просто проверить, что для системы (П1.50) с условием (III.51) каждый шаг в § III.3 является справедливым вплоть до условия-(III.24). Без какой-либо потери общности Т в выражении (III.24) можно заменить на i!, так что в терминах системы (III.50) уравнение (111.24) принимает вид

ЙЕ (О 26

Используя соотношения (III.23), (III.48) и (III.49), получим

/ t - \l / t \ 1

8(0 =

\0 t

.0 / Vo

he (0 = - J (T) 68 (T) Л = - J Гые(т) de (т);

e(0 =

j 6 [60 (T) + geo (T) -f r(T) -f qr {т)]Ых

(.III.52>

(III.53a) (III.536>

.(IM.53B)

Здесь Г - контур, обусловленный функциональной зависимостью между щ (т) и (т) в интервале От t. Умножив обе части неравенства (III.52) и равенств (III.53) на е получим

,4в (о--4(о]---/гв(о-4-;в(о,

ft \0

jr e(T)deE(T);

,(0)

g-2E (t-t) + / (T) + (T)]2 dx

(III.54)

(III.55a) (III.556)

(111.55b)

Рассмотрим теперь свойства трех интегралов выражений (III.55). Используя неравенство Минковского, из выражения (111.55в) найдем

ft \\ [ t . \ 1

-2<-4eo(T) + 9eo(x)f dx

j,-2E U-X) [;.(x)+9r(x)f dx)

Vo >

Так как 8 > О и г ( < оо , г (Q < оо, то из приведенного выше нера- венства получим

4 (о(о(-+?4)

1 -е

,-2е< \

2 (оо) + гп Л-ЯГт jjjggj

V 2е

где /о (0< оо является той же, что и в соотношении (111.23в) при Т = t. При 9=0 неравенство (III.54) сводится к

С (0.-4(0 <оо. (т.57)

С учетом условия (III.56) приведенное выше выражение является конечным. Кроме того, так как при 9=0 член, включаюш,ий в себя г, выпадает, отсюда следует, что в случае 9 = 0 от требования г (if) < оо можно отказаться.

Для других случаев доказательство конечности J(t) при всех значениях осуш,е-

ствляется параллельно доказательству теоремы 10.1 При этом неравенство (III.54) служит таким же основным соотношением, каким служило (III.25) при доказательстве теоремы 10.1. Вторую часть леммы 11.3, в которой указано, что линейный элемент не обязательно должен быть устойчивым по выходному сигналу, если его можно получить путем преобразования со сдвигом нулей (10.38) из устойчивого элемента, можно доказать точно так же, как и теорему 10.6.