8.8. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В главе были рассмотрены точные методы расчета релейных систем управления, имеющих структурную схему, показанную на рис. 8.1, с релейными характеристиками, изображенными на рис. 8.2. В § 8.1 изложен способ определения переходной реакции, если известны начальные условия, реакция линейного элемента на ступенчатый входной сигнал и характеристики релейного элемента. При этом возможно либо численное, либо графическое решение задачи. Другие параграфы этой главы посвящены исследованию периодических процессов в релейных системах. Основа всех методов, изложенных в этой главе, заключается в первоначальном предположении о форме решения с последующим обоснованием условий, при которых такое решение может существовать.

В § 8.2 рассматриваются два типа условий, определяющих существование в релейной системе периодических колебаний. Первое представляет собой условие переключения (8.13) и второе - условие непрерывности (8.14). Материал этой главы ограничен определением основных колебаний, показанных на рис. 8.3.

Для исследования существования периодических колебаний в системах управления предложены два метода. Один из них - метод модифицированного z-преобразования с опережением, рассмотренный в § 8.3, основан на том, что установившийся периодический процесс на выходе линейного элемента, вызванный меандровыми колебаниями на выходе реле, можно описать с помощью модифицированного z-преобразования в виде выражений (8.24) и (8.25). Эти выражения определяются параметрами периодического сигнала и передаточной функцией линейного элемента. С целью упрощения преобразований могут быть использованы стандартные таблицы модифицированного 2-преобразования с опережением. Теорема 8.1 является основой для всей теории, изложенной в § 8.3.

Метод Цыпкина, приводимый в § 8.4, заключается в определении условий переключения в результате построения некоторой кривой, называемой годографом Цыпкина. Этот годограф строится по выражениям (8.44) и (8.45) соответственно для реле без зоны и с зоной нечувствительности. Годограф-Цыпкина основан на разложении в ряд Фурье выходного реле за период работы. Все это можно получить не только из амплитудно-фазовой частотной характеристики G (/со) линейного элемента (§ 8.5), но также с помощью-z-преобразований G (s) [см. в § 8.6 выражения (8.63) и (8.65) ].

Модифицированнное z-преобразование с опережением облегчает получение условий переключения и позволяет находить выражения для периодических колебаний на выходе системы управления, что может быть использовано для анализа условий непрерывности (8.14). Следует заметить, что метод Цыпкина ограничивается исследованием условий переключения. Тем не менее если известны значения параметров сигнала, удовлетворяющие условиям переключения, то трудная задача определения условий непрерывности упрощается. К счастью, почти во всех реальных системах условия непрерывности удовлетворяются, если выдержаны условия переключения.

В методе модифицированного 2-преобразования с опережением необходимо рассматривать те начальные условия, которые соответствуют особенностям передаточной функции G (s) в области Re s 0. Метод Цыпкина не требует такого рассмотрения. Однако при его использовании должны быть-установлены условия существования симметричных основных колебаний. Иначе он не может быть применен без использования модифицированных методов.

Хотя метод модифицированного г-преобразования с опережением легко распространяется на случай исследования вынужденных колебаний, метод Цыпкина более изящен. Для его применения строится кривая выходного сигнала при периодическом входном сигнале данной формы [см. выражение 8.70)]. Условия переключения для этого случая даются выражениями (8.72) и (8.73), а также иллюстрируются рис. 8.12.

В § 8.7 рассматривается устойчивость периодических колебаний как при действии входного сигнала, так и без него. Показано, что устойчивость периодических колебаний в малом эквивалентна устойчивости линейной импульсной системы, изображенной на рис. 8.15. Условия устойчивости колебаний, полученные для этой импульсной системы, можно также определить и по годографу Цыпкина. Сказанное распространяется и на случай вынужденных колебаний [условие (8.82)] и автоколебаний (теорема 8.4). Дальнейшее распространение этих методов для анализа колебаний, отличных от основных, или для случая реле с другими характеристиками (здесь не рассмотренными), хотя и является заманчивым, однако может привести к довольно громоздким вычислениям.

8.9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

8.1. Для системы управления, приведенной в примере 8.1, реакция которой на начальные условия равна

(t) = -0,407 + 0,207е-,

найти переходный процесс, у () с помощью метода, описанного в § 8.1.

8.2. Для системы управления, приведенной в примере 8.1, определите, удовлетворяются ли условия непрерывности, заданные выражением (8.14а).

8.3. В примере 8.1 покажите, что если для предельного цикла не указывается а, то условие (8.28) будет автоматически удовлетворяться в силу аналитичности в области z 1

функции (z, т).

8.4. Проверьте выражение (8.37). Покажите, что выражение (8.31) справедливо не только для а > О, но и для й<; 0.

8.5. Исследуйте условия непрерывности [выражение (8.14а)] для системы, приведенной в примере 8.2 при а = 2; t/ = 10; е = Vz- Повторите это же для а = -2.

8.6. Исследуйте основные колебания релейной системы управления (см. рис. 8.1) с реле, показанным на рис. 8.2, а, если задано

Рис. 8.17. Релейные характеристики с гистерезисом для примера 8.10:

а - симметричная; б - несимметричная

G(s) =

S (s + а)

а> 0;

Yo(s)=+- и r{t) = R.

Покажите, каким необходимым условиям нужно удовлетворить, чтобы в системе существовали автоколебания.

8.7. Для системы управления из предыдущей задачи и если t/ = 1; е = Vz; а = 1 и R= 6,5 определите период автоколебаний и выражение для уп{)- Проверьте, удовлетворяются ли при этом условия непрерывности.

8.8. Исследуйте устойчивость автоколебаний в системах управления, приведенных в примерах 8.1, 8.2 и 8.3.

Указание. Для этого воспользуйтесь теоремами 8.2 и 8.3.

8.9. Исследуйте существование и устойчивость автоколебаний в системах управления, приведенных в примерах 8.2 и 8.3, используя годограф Цыпкина.

8.10. Рассмотрите релейную систему, изображенную на рис. 8.1, если г (t) = Q. Для каждой из релейных характеристик,. показанных на рис. 8.17:

а) напишите условия переключения для основного периодического режима;

б) если G (р) имеет полюс при р = О, то какова средняя величина у (/) на выходе системы;

в) поясните применение каждого из методов исследования автоколебаний.

8.11. Рассмотрите систему управления, приведенную на рис. 8.1 с идеальным реле (см. рис. 8.2, е). При каком типе линейного стационарного элемента метод эквивалентной передаточной функции указывает на отсутствие автоколебаний, а годограф Цыпкина на их присутствие? Ответьте на тот же вопрос, если реле имеет характеристику, показанную на рис. 8.2, а.

8.12. Выведите выражение (8.46), не пользуясь модифицированным z-преобразованием с опереягепием.

8.13. Постройте годограф Цыпкина для объектов управления, имеющих следующие передаточные функции:

а) б) в)

(S + 2) (S+4)

S+2 . s2(s+4)

S (s2 s 2)

Построение выполните двумя способами: приближенным, используя амплитудгю-фазовые характеристики исходных передаточных функций; и точным, используя формулу (8.48).

8.10. УКАЗАНИЕ НА ЛИТЕРАТУРУ

Наиболее подробно теория релейных систем управления изложена в книге [191]. Материалы этой книги были использованы в § 8.4-8.6. Последнее представило определенные трудности, так как до сих пор нет перевода этой книги на английский язык.

Метод, достаточно близкий по своим идеям к методу Цыпкина, был разработан Хамелом. Для изучения метода Хамела и его связи с методом Цыпкина отошлем читателя к работе [59].

Таблицы для обоих видов модифицированного z-преобразования можно найти в книгах [90] и [190].

В настоящей главе не рассматривался метод для нахождения периодического процесса из условий переключения, записанных в виде матричных уравнений. С этим методом можно ознакомиться по работе [143]. Дальнейшее развитие данной методики, удобной для применения в релейных системах управления, дано в работе [Ш].