По существу, 6jt:i соответствует отклонению от x(f), когда пренебрегают величиной h (х, и, t) в соотношении (14.58). В соответствии с определением 8xi (ti) = О, отсюда

Обозначим через (t) достижимое множество для системы х = f {х, п, f) или

G,{t2) = \x*{t2)-bx{n, ):пЩ\х{п, 12):иЩ. (14.60)

Вследствие того, что система теперь нелинейная, множество G, (t) не обязательно является вьшуклым

Рассмотрим достижимое множество G (t) для траектории с приближенной вариацией относительно точки х* (t) или

G(t) = \х*(t) + 6x2(и, ):иеЩ.

Здесь G (2) является вьшуклым в том смысле, что множество {Ьх, ( , i) : u£Q\ выпукло.

Помимо множеств G, (2) и G {t., нам необходимо также множество §, определенное в п. 1 данного параграфа.

Выведены свойства множества G исходя из свойств множества G. Это сделал Галкин, доказав следующую фундаментальную лемму:

Лемма 14.3. Если не существует гиперплоскости, разделяющей выпуклые множества 8 я G {t), то множества и G, (2) имеют по меньшей мере одну общую точку.

В соответствии с определением множества 8 я G, {t) не могут иметь общую точку, так как в противном случае нарушается предполагаемая оптимальность управления * [t). Следовательно, в соответствии с леммой 14.3 множества 8 я G будут разделены гиперплоскостью.

Установив это, нам уже не требуется множество G для доказательства принципа максимума, и мы можем ограничиться лишь множеством G. Так как G представляет собой достижимое множество для расширенной линейной системы вида (14.43), а л:* (2) принадлежит G, я G, то для вывода четырех условий принципа максимума можно непосредственно воспользоваться теми же рассуждениями, которые были использованы в предыдущем параграфе. Этот вывод мы предоставляем читателю.

С учетом сказанного выше можно дать геометрическую интерпретацию основной идеи принципа максимума, сформулированного в пункте 1) теоремы 14.3.

Исходя из соотношения (14.23) и учитывая, что, во-первых, рассматривается как внешняя нормаль к достижимому множеству G (t) и, во-вторых, функция / в соответствии с уравнениями расширенной системы х - f, по существу, определяют локальную скорость движения системы по траектории, отметим, что пункт 1) формулировки принципа максимума указывает, что оптимальная траектория должна быть такой, чтобы в каждой точке максимизировать локальную скорость х в направлении внешней нормали к достижимому множеству G (fj.

1) Достаточное условие, при котором С (t) замкнуто и выпукло для класса нелинейных управляемых объектов, см. в работе [170]. >

14.6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА К НЕКОТОРЫМ КЛАССАМ ЗАДАЧ

1. Задача оптимального управления по расходу топлива

Посмотрим теперь, как с помощью принципа максимума можно решить задачу управления, оптимального по расходу топлива. Рассмотрим линейный управляемый объект

x = A{t)x + B{t) и,

где X (tl) = хи X (t) = х; Uy] = 1 при / = 1, .. . мальности по расходу топлива выражается формулой

tl \i=l

(14.61)

, r, a критерий опти-(14.62)

при этом, конечно, предполагается, что решение существует и, следовательно, интервал времени 2 - tl больше (или равен) времени t*, необходимого для оптимального по быстродействию управления.

В соответствии с принципом максимума запишем

Н = -

i:\jit)\]+¥AxBu, (14.63)

Рис. 14.7. Функция ы= dez i?

где сопряженный вектор 1з удовлетворяет условию -ф = -(О Ф- При максимизации Н ио и заметим, что каждая составляющая и в Н имеет вид

-1 г (t) I + ]щ; i=l, г. (14.64)

\/=1 /

приняв (?i = S ibjn мы видим, что величина максимума в выра-жении (14.64) достигается для каждого значения i при (см. упражнение 13.2)

+ 1, .>1;

щ = \ О, 1<,.<1; (£=1, ...,г) (14.65)

[-1, gi<~i.

Функция переключения (14.65), графически изображенная на рис. 14.7, напоминает характеристику реле с зоной нечувствительности [см. нелинейность (17) в табл. 6.2]. Следуя работе М. Атанса и П. Л. Фалба [8], назовем ее функцией dez <?,-, если и] удовлетворяет выражению (14.65)], итак.

Ui = dez qi, г = 1, . . ., г.

Определим далее эту функцию в векторной форме

и* = dez q.

(14.66) (14.67)

чтобы компактно представить выражение (14.66).

Заметим, что функция dez <?,- не определена, если q = +1 или qi = -1. Это приводит к особому случаю, который будет рассмотрен в гл. 16. Особые случаи уже встречались в примерах 12.4 и 12.5.

пример 14.4. Вновь рассмотрим систему примера 12.4, где х = и; х (0) = \; х (5) = 2,

I (О I 1 и у = \u(t) \ dt. Здесь Н = ~ \ и (t) \ + \ри, те = 0. Максимизация Я дает о

и = dezij).

Решением для г]) будет г]) = const. Таким образом, ф = +1 или -1, несомненно, является справедливым для некоторых начальных условий, откуда видно, что возможно не единственное {т. е. особое) оптимальное управление. Те же соображения справедливы и в отношении системы лримера 12.5.

Пример 14.5. Рассмотрим управляемый объект

Xi = -Х1+ и; Ха = - 2x2 - . который, по существу, описывается операторным уравнением вида

и (О = + 3/7 + 2) (0.

Пусть X (0) = х л (Г) = О и 1 (О I 1- При

f=\\u{t]dt о

имеем

Я = - I (О I + (О [~х, (О + и (01 + гра (О [-22 (О - (01. где 1]) {t) удовлетворяет уравнениям

Следовательно, оптимальное управление будет

*(0= dez [(O-ipaWl-PemeHHH для ifi (О и фг (О имеют вид

ifi(0 = cie; 11)2(0 = 26.

и равенство lifi (О - Фа (О I ~ не может выполняться в течение конечного интервала времени. Таким образом, не будет особого управления. Подробнее вопрос об особых управлениях будет рассмотрен в гл. 16.

Так как установлено, что особое управление не существует, то решение полностью определяется выражением (14.65) или (14.66). При этом двухточечную краевую задачу можно решить, по крайней мере, для случая линейных управляемых объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными параметрами.

Заметим, что если даже управляемый объект нелинейный, а и входит в уравнение линейным образом, принцип максимума по-прежнему будет давать оптимальное управление, определяемое выражением (14.67). Рассмотрим в качестве примера систему вида

тр,е G - соответствующая матрица. Тогда имеем

. я=-21 /(01+ G ).

Зависящая от и часть Н имеет вид - Si / (О 1 + Gn. Заметим, что

максимизация Н относительно каждой составляющей и даст (см. упражнение 14.12)

* = dez [С/л:, t) .

Поскольку здесь G является функцией х, то задача усложняется

См., например, работу [7].