i - ГЛАВА 15

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Динамическое программирование, разработанное математиком Ричардом Беллманом в начале 1950-х годов, играет важную роль при решении задач оптимального управления по меньшей мере по двум причинам. Во-первых,. динамическое программирование рассматривает задачи оптимального управления, исследуя зависимость критерия оптимальности во времени от различных начальных условий. Во-вторых, оно дает, по существу, решение задачи синтеза оптимального управления и позволяет решать задачи, которые неразрешимы с помощью других методов; например, задачи стохастического управления.

Суть динамического программирования заключается в получении дифференциального уравнения в частных производных, которое известно как уравнение Беллмана. Его можно достаточно просто вывести эвристически, приняв некоторые допущения. Однако последние работы показали, что уравнение Беллмана остается справедливым даже при устранении этих ограничивающих предположений. Поэтому оно является важным необходимым условием оптимальности. В более поздних работах было дано обоснование уравнения Беллмана как достаточного условия оптимальности.

Динамическому программированию предшествовали исследования Кара-теодори периода середины 1920-х до середины 1930-х годов. Формулировка задачи оптимизации с помощью принципа максимума близка к гамильтоно-вой трактовке физических задач, в то время как формулировка на основе динамического программирования соответствует методам решения физических задач с помощью уравнения Гамильтона-Якоби). В свете этого не удивительно, что некоторые задачи можно решать обоими методами.

15.1. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим одномерную задачу оптимизации, в которой требуется

минимизировать функционал f = \ L (х, и) dt при управлении стацио-

нарным объектом х = f (х, и). Движение начинается из начального состояния X (0) - Хо, конечное состояние х (Т) остается свободным. На управление наложено ограничение ы 1.

) Изложение этих методов в приложении к физическим проблемам, см., например, в работе [62].

Предположим, что функции / (х, и) и L {х, и) достаточно сложны и потому решение задачи в аналитическом виде получить невозможно. Для получения численного решения можно использовать цифровую вычислительную машину.

Для решения задачи необходимо сначала преобразовать систему в Дискретную форму (это можно сделать разными способами), а затем отыскивать численные решения дифференциальных уравнений. Для простоты аппроксимируем систему, разделив интервал времени [О, Т] на равных частей!); 0, и, t, . . ., tfj с интервалом = TIN. Обозначив значения переменной состояния и управления в момент времени t соответственно через х и и , показатель качества приближенно выразим так:

/= 2(л: , )А (15.1а)

а систему

Xni - Хп = f {Хп, и ) А, п = о, I, . . ., N. (15.16)

Приняв / {х , и ) At -\- Хп = g {х , и ), выражение (15.16) примет вид

+1 = g (Хп, )- (15.2)

Осуществим квантование по уровню функции управления и на интервале [-1, +1 ], представив ее как совокупность 2P-f 1 значений: -Ре, (-Р+ + 1)8, . . . , Ре, где Ре = 1. Обозначим эту последовательность 2Р + 1 значений величины и через [и]. Проделаем аналогичную процедуру относительно переменных состояния таким образом, чтобы в итоге было справедливо уравнение (15.2).

Один из способов создания возможной программы для цифровой вычислительной машины заключается в организации следующей итерационной процедуры.

Предположим, что интервал [О, Т] настолько мал, что достаточно одного шага; тогда At = Т к N = 1. Таким образом, из выражений (15.1) и (15.2) следует, что

/ = L (хо, Ыо) At к Xl = g (хо, о)-

При оптимизации для каждого начального условия Хо можно выбрать такое управляющее воздействие Ug, чтобы минимизировать f. Это можно легко сделать на цифровой вычислительной машине. Обозначим через/* (хо) оптимальное значение f для такой одношаговой задачи, где Хо - начальное условие, тогда имеем

fl{xo)= min [L{Xo,Uo)At] (15.3)

где операция min [L (х, Ыо) означает нахождение наименьшего значения заключенной в квадратные скобки величины из 2Р + 1 возможных значений Ug.

Предположим, что N = 2, т. е. необходимы два шага; тогда, обозначив через показатель качества для двухшаговой задачи, имеем f L {х-, Uo) At + L (xi, Uj) At. Следует выбрать два значения функции управления: Uo и и, и решение уже не является столь очевидным. Однако, если подумать над тем, каким свойствам должен удовлетворять процесс в момент времени ti, то напрашивается следующая гипотеза.

Должно быть очевидным, что достаточно большое, чтобы ошибка при переходе к дискретной системе была малой.

Оптимальная последовательность управлений для двухшагового процесса {uq, Ui) должна быть такой, чтобы независимо от значения ul и, следовательно, значения xi выбор щ оставался оптимальным относительно состояния Х\.

Если принять эту гипотезу, то можно решить двухшаговую задачу оптимизации следующим образом.

Для каждого состояния в момент времени определяем оптимальное управление Ui, как в случае одношаговой задачи оптимизации. Вводим в память машины каждое управление Ui (х) вместе с соответствующим ему показателем оптимальности /I (xi).

Затем для каждого состояния Xq вычисляем значение оптимального управления Щ (х), которое обеспечит оптимальный перевод системы из состояния Хо в некоторое состояние х,. Это делается так: для каждого Xq вычисляется при каждом Ug результирующее состояние х а затем определяется функция /2 W = и (Хо, Uo) М + f\ (xi). Управление щ {х есть такое значение управления и, которое минимизирует функцию /2 {х. Сказанное выше в математической форме запишется так:

/; (хо) = min [L (лго, bdf\ {х\. (15.4)

Так как значение f \ (х найдено и введено в память, для нахождения fl{xo) с помощью уравнения (15.4) требуется непосредственный перебор не более сложный, чем при определении /1 (i). Поскольку xi = g (xq, Uq), to можно написать

/; (xo) = min [L {xq, u)M + f\{g (xo, tie))] (15.5)

Значения mq {q) и /2 (o) снова вводим в память.

Для того чтобы найти оптимальное управление, соответствующее начальному условию Хо, берем из памяти машины значение функции ыо (-о). подставляем.ее в выражение (15.2) и вычисляем координату х, затем снова обращаемся к памяти и находим значение mi (i). Последовательность { о (о)> 1 (i)} и есть оптимальная последовательность управлений при условии, что справедлива гипотеза, высказанная выше.

Действите.льно, если эта гипотеза справедлива, то ее можно обобщить и сформулировать следующим образом. Оптимальная последовательность упраьления для Л/-шагового процесса {ug,ui, . . ., ылг-i) должна быть такой, чтобы независимо от значения uq и, следовательно, значения Xi выбор остальных значений последовательности {u\, . . ., ылг-il оставался оптимальным относительно .состояния xl-

Приняв Л/ = 3 и исходя из указанной гипотезы, запишем

/з Ы = min [L (хо, ио) -\-fl (xi) =

o6{ e}

. = min [L (xo, Uo) At-j-flig (xo, Uo))] (15.6)