Во-вторых, можно подойти к изучению различных зависимостей, используя вычислительную машину, чтобы определить; 1) наилучшие параметры системы управления; 2) влияние различных весовых коэффициентов, в показателе качества. Это позволит определить практическую приемлемость субоптимальных решений.

В-третьих, зная свойства оптимальных систем, можно попытаться рассчитать квазиоптимальные системы, которые позволили бы обойти встретившиеся трудности.

И, наконец, следует отметить, что хотя существует большое число систем, которые не поддаются точному анализу с помощью существующих методов оптимизации, можно использовать другие методы теории управления для приближенного анализа этих сложных систем. При этом будет-получено более отчетливое представление об основных проблемах, связанных с оптимальными системами.

В заключительной главе мы укажем области техники, в которых современная теория оптимального управления позволяет получать эффективные решения, а также те области, в которых полный анализ еще невозможен.

17.1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ

РЕШЕНИЙ

Ввиду того, что аналитическому решению поддаются лишь сравнительно простые задачи оптимального управления, большое значение приобретают численные методы их решения. В настоящее время вычисления для этих задач связаны с большими трудностями ввиду отсутствия общего метода, на основе которого можно безошибочно получать оптимальное решение. Таким образом, инженеру необходимо знать преимущества и недостатки ряда численных методов, получивших распространение за последние-годы.

Следует отметить, что, даже в случае одноточечной краевой задачи или задачи с заданными начальными условиями, способы численного решения, еще далеки от совершенства.

Наиболее распространенная одноточечная краевая задача встречается при моделировании системы, описываемой дифференциальными уравнениями. При этом уравнения системы программируются на цифровой вычислительной машине, и ее решение определяется с учетом данной входной функции и заданных начальных условий.

С другими одноточечными краевыми задачами мы сталкиваемся при попытках решения задач оптимального управления. Так, например, в гл. 15 было показано, что в результате использования динамического программирования применительно к- определенному классу задач получаете? матричное уравнение Риккати. Как будет показано ниже, многие двухточечные краевые задачи можно решить как ряд одноточечных краевых задач.

Проблема, с которой сразу же приходится сталкиваться при решении одноточечных краевых задач на цифровой вычислительной машине, состоит в том, что в то время как сама физическая система развертывается во времени непрерывно и параллельно, т. е. все ее состояния изменяются одновременно, обычная цифровая вычислительная машина выполняет математические операции дискретно во времени и последовательно. Для системы, работающей подобным образом, сразу же становятся очевидными два потенциальных источника ошибок. Первым источником ошибок является приближенное выражение непрерывной во времени системы через дискретнук> модель системы. Второй источник определяется тем, что при любом модели-

ровании непрерывной системы, работающей в замкнутом контуре, получаемая в результате моделируемая система имеет по меньшей мере один такт задержки в контуре.

Как хорошо известно, точность приближенного описания и величина задержки при прочих равных условиях является функцией шага квантования, выбранного для приближенного выражения системе. На практике обычно нельзя выбирать такой размер шага, который на один или два порядка меньше необходимой величины, так как в этом случае машинное время, а следовательно, стоимость окажутся чрезмерно большими. Далее, ошибка округления, возникающая вследствие того, что вычислительная машина использует лишь конечное число разрядов для выражения каждого числа, может Оказаться слишком большой.

Несмотря на очевидность необходимости оценки требуемой величины шага, фактическое определение этой величины может иногда бьггь связано с большими трудностями. Кроме того, требуемая величина шага для одной части задачи может оказаться слишком болошой для другой части задачи. Это объясняется тем, что во время сильно меняющихся переходных процессов размер шага должен быть меньше, чем в статике. В свою очередь, переходные процессы в системе в значительной мере будут зависеть от величины управляющего или возмущающего воздействия. Таким образом, можно ожидать, что выбор размера шага будет определяться вообще локальным усилением или локальной постоянной Липшица.

Когда требуется переменный размер шага, то следует выбирать такие программы интегрирования, которые могут регулировать размер своего шага в соответствии с какими-то оценками местных ошибок. Это действительно может быть обеспечено с помощью класса программ, способных предсказывать и корректировать ошибки [70]. Однако при использовании этих программ, позволяющих устранить некоторые проблемы, возникает ряд других трудностей.

Заметим, во-первых, что в случае таких нелинейностей, как реле, локальная постоянная Липшица при переключении реле приближается к бесконечности; кроме этого, когда реле не переключается, постоянная Липшица равна нулю. Размер шага также изменяется на несколько порядков величины, ЧТО может привести, как было указано выше, к запаздыванию в контуре. Если не принять мер по уменьшению ошибки, возникающей вследствие изменения постоянной Липшица, то в результате может получиться большая ошибка, вызываемая задержкой.

Во-вторых, вследствие изменяющегося размера шага программа с предсказыванием и корректированием имеет свой собственный замкнутый контур, который может стать неустойчивым при взаимодействии с моделируемой системой. Наблюдающееся здесь явление неустойчивости еще недостаточно выяснено и служит темой интенсивных исследований, проводимых специалистами по численному анализу *.

В-третьих, почти во всех существующих программах интегрирования для определения значения состояния системы для следующего шага используется полиномиальная экстраполяция. К сожалению, очень часто состояние системы может изменяться скачком. Так, например, в системе с насыщением по скорости и ускорению на вььходе, как только выходной сигнал достигает

* Получающиеся при этом замкнутые динамические контуры являются неминимально-фазовыми и при их реализации численными методами, вызывающими значительные фазовые искажения контура, последние становятся избыточными. Необходимо введение фазоопере-жающих программ коррекции, укладьшающйхся по времени в выбранный размер шага (Прим. ред.).

насыщения, скорость сигнала на выходе должна иметь нулевое значение. То же относится и ко второй производной выходного сигнала при насыщении скорости на выходе. Скачкообразные изменения этого типа невозможно приближенно выразить с помощью многочлена, учитывающего предшествующие изменения во времени без дополнительного уточнения.

Таким образом, для получения хороших решений даже при прямом, цифровом Моделировании одноточечной краевой задачи меры предосторожности не могут оказаться излишними.

Многие из отмеченных выше трудностей могут быть преодолены, по крайней мере теоретически, при использовании вычислительной машины смешанного типа. Однако вплоть до настоящего времени опыт применения гибридных вычислительных машин слишком ограничен, чтобы на его основе можно было судить об этих возможностях.

при численном решении двухточечных краевых задач, включающих дифференциальные уравнения, продолжают оставаться все те проблемы которые были отмечены выше в связи с одноточечными краевыми задачами. Кроме того, возникают новые проблемы, связанные с требованиями в отношении памяти и сходимости. При составлении программы часто требуется большое искусство, чтобы сократить до приемлемого уровня ее объем и. продолжительность времени решения.

Ниже будут рассмотрены три метода решения задач оптимизации, а именно: метод градиента, метод второй вариации и обобщенный метод Ньютона-Рафсона. Общей особенностью, присущей всем этим трем методам является то, что для облегчения подгонки краевых условий используется линеаризация уравнений системы.

1. Метод градиента, или наискорейшего спуска

Известно, что функция п переменных f {х, х, . ., л; ) максимально изменецяется по величине в направле1ии, определяемом вектором, i-я составляющая которого представляет собой df/dxi. Этот вектор является вектором-градиентом и обозначается через f.

Если f (л:) мысленно рассматривать как какой-то горный хребет -в (п 1)-мерном пространстве, то тогда \f будет обозначать в любой данной точке направление самого крутого восхождения, тогда как - \f обозначает направление самого крутого спуска. Заметим, что если непрерывно придерживаться направления локального вектора-градиента, то в конечном счете будет достигнут относительный пик данного горного хребта . Подобным же образом, если придерживаться направления, противоположного локальному вектору-градиенту, то будет достигнута относительно низкая точка.

Метод наискорейшего спуска представляет собой вычислительный.-прием, основанный на использовании отмеченного выше свойства градиента для получения экстремума в вариационной задаче итерационным путем и всегда в таком направлении, чтобы получить уменьшение (или увеличение) показателя качества.

Для простоты рассмотрим систему с одним управляющим воздействием

x = ffx,u). (17.1)

Предположим, что желательно найти и * (t), перемещающее состояние системы от Xi в момент времени в какое-то состояние л; 2 в момент времени 2 такое, чтобы обеспечить минимум функции

[Р = Р (Xz). (17.2)