Предполагая, что в релейной системе возникают колебания, можно представить следующие постановки задач анализа и синтеза:

1) Анализ. Параметры системы и форма сигнала на выходе реле заданы. Требуется определить значения амплитуды и частоты периодических колебаний.

2) Синтез. Задан меандровый сигнал на выходе реле. Требуется определить параметры системы управления, при которых периодические колебания обладают определенными характеристиками.

Некоторые методы анализа импульсных систем с большим успехом могут применяться для исследования релейных систем. В первую очередь это следует отнести к обычному и модифицированному 2-преобразованиям *. Для читателей, не знакомых с этими видами преобразований, в конце книги приведено приложение П, где изложены теоретические основы методов Zfn- И 2-преобразований.

8.1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЕ ВХОДНОГО СИГНАЛА

Прежде чем исследовать периодические режимы в релейных системах управления, необходимо определить уравнения движения системы в общем виде. При этом следует помнить, что если входной сигнал и начальные условия известны, то можно определить характеристики релейной системы. На рис. 8.1 изображена структурная схема с релейной характеристикой, показанной на рис. 8.2, а **.

Выходной сигнал реле в этом случае имеет вид (рис. 8.3, а)

u{t) = Uk

(8.1)

где k = ±1 указывает на полярность сигнала реле при = 0; fx i - единичная ступенчатая функция ***, 4 ( =1, 2, . . .) -временная последовательность моментов включения реле.

Реакцию линейного элемента на этот сигнал запишем в виде

/,(/) +2 S (-lfh(t-h)],

G(s)

gix)dx, tO;

0, <0

(8.2)

(8.3)

представляет собой характеристику переходного процесса линейного элемента. Здесь g (t) - импульсная переходная функция, а Уо (t) - реакция на начальные условия. Входной сигнал реле в соответствии с рис. 8.1 равен

e{t)=r it) ~ у (t). (8.4)

* В настоящей книге используется одна из форм модифицированного z-преобразования - модифицированное z-преобразование с опережением (Прим. ред.).

** Анализ систем управления с другими релейными характеристиками может быть выполнен по этой же методике. *** Здесь имеем

А ( О при f < 0; -( = llnpH/0.

Если моменты переключения 4 известны, то временная функция у (/) определяется соотношением (8.2). Таким образом, задача построения переходного процесса заключается в определении моментов включения. Для релейной характеристики, показанной на рис. 8.2, а, моменты переключения определяются из уравнений

е (4) = гк е (4) k (-1) > О, (8.5)

которые нетрудно получить, анализируя рис. 8.3, а.

При заданных входном сигнале г {t) и реакции на начальные условия Уо (О уравнения (8.2), (8.4) и (8.5) позволяют получить моменты переключения и реакцию у (t) между переключениями. Введем обозначение

r(t)

\/ I \У

+ 2 J;(-l)*/г(

Я(0 +

(8.6) (8.2) и

Рис. 8.4. Графический способ определения сигнала на выходе релейной системы управления с помощью метода суперпозиции [см. выражения (8.7) - (8.10) ]

Сравнивая уравнения (8.6), найдем, что

yn,At) = yit); 0tt i. (8.7)

Тогда уравнения (8.6) можно записать в следующем виде:

it) = Уп (t) +

+ 2Uk{-irh{t~Q, (8.8)

п = О, 1, 2, . . ..

Из уравнений (8.4) и (8.5) следуют соотношения для определения моментов переключения

/ +i(4.i) = -(r ,i)-(-l) +ie, п = О, 1, 2, . . . Из уравнений (8.2) и (8.4) найдем

= sign [г (0) - уо (0)].

(8.9)

(8.10)

Уравнения (8.7) - (8.10) полностью определяют выходной сигнал системы управления. Они используются для графического или аналитического построения переходных процессов. Определяющим условием для применения того или иного метода построения переходного процесса является сложность системы управления. Графический способ отыскания переходного процесса в релейной системе показан на рис. 8.4.

8.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ

Для релейного элемента без зоны нечувствительности выходной сигнал запишем в виде

Unit) = [/ S (/ ~ kT) - 2г l [t-{k

а)Л4-И 1[--(+1)Л1; (8.11a)

с зоной нечувствительности

- lt-{k-Jr a) Л +1-1 - + T]\. (8.116)

В данном случае Г, a, и Pa - параметры сигнала, которые следует найти, используя уравнения системы. Если эти параметры удается вычислить, то периодическое движение предполагаемой формы действительно существует.

Заметим, что если найдены колебания вида (8.11), то это еще не означает, что другие виды колебаний не существуют. Таким образом, теоретически должны быть проверены все возможные в системе виды колебаний. Наиболее часто в релейных системах встречаются колебания, описываемые уравнениями (8.11). В данной главе мы ограничимся рассмотрением этого вида колебаний. Подобные колебания в теории релейных систем принято именовать главными колебаниями *.

Главные колебания, как это следует из уравнений (8.11), являются несимметричными. Очень часто встречается особый случай симметричных колебаний, для которого имеем a = -HP2=-y- + Pi. Например, рассмотрим

систему управления, состоящую из реле (см. рис. 8.3, а) и линейного объекта, передаточная функция которого G (р) имеет полюс при р = 0. Вследствие

этого сигнал и (t) имеет нулевое среднее значение и а = ~. И вообще в произвольной системе управления с обратной связью при отсутствии возмущающего воздействия можно ожидать установления симметричных колебаний.

Предположение о симметричных колебаниях упрощает аналитические расчеты для систем с реле. Когда анализируется реле без зоны нечувствительности, то требуется определить только один параметр Т; если учесть влияние зоны нечувствительности, то появляется дополнительный параметр Р. Предполагая, что в системе имеются только симметричные колебания, получим

а = ; P2 = 4 + Pi- (-2)

Для предполагаемого периодического сигнала на выходе реле вида (8.11) можно определить установившуюся составляющую на выходе линейного элемента у (t), а затем сравнить у (t) с входным сигналом г (/) и установить, удовлетворяются ли условия переключения реле. Пусть (f) представляет собой периодический входной сигнал для реле с периодом Т. Из рис. 8.3 видно, что для реле без зоны нечувствительности условия переключения реле будут

(0) = е при ё (0)>0;

еп{аТ) = -Е при е {аТ)<:0.

(8.13а)

Для реле с зоной нечувствительности эти условия запишутся в виде

е (0) = е при ё (0) > 0; е фТ) = % при ё (PiT) < 0; е {аТ)-~е при 4(аГ)<0; епф = -1 при n(P2>0. J

(8.136)

* Результаты этой главы можно распространить для анализа более сложных видов коле-аний, однако при этом вычислительные трудности невероятно возрастают.