Пример ЮЛ. Рассмотрим стационарную систему, описываемую следующим дифференциальным уравнением:

X (t) = Ах (t) + bu (ty,-e(t) = Л (t). (10.5)

Согласно изложенному в гл. 3 определим переходную матрицу в виде

Ф(0 = -Ч(/5-Л)-Ч=Ф(. 0). (10.6)

Выход линейной части в соответствии с (10.5) равен -е (t) = сх {(), а следовательно,

e(t) = ~ (t) х{0)~ J сФ (t - т) bu (t)dt. (10.7)

Сравнивая выражения (10.1а) и (10.7), найдем

-ео (О = сФ {t) X (0) = [с- (Is~А)~х (0)]; (10.8а)

g (t) = сФ (t) b = [с (Is ~ Af Ь]. (10.86)

Уравнения (10.8) определяют важное свойство стационарного линейного элемента, заключающееся в том, что реакция -вд (t) на произвольные начальные условия адекватна импульсной переходной функции.

Единственное условие, которое ограничивает класс линейных систем этой главы, заключается в том, что рассматриваются только линейные элементы со степенью устойчивости а. По существу это означает, что для а >> О выходной сигнал при реакции либо на импульс, либо на начальные условия будет стремиться к нулю быстрее, чем функция е-°-*. Для а <; О понятие степени устойчивости соответствует тому, что реакция на импульс или на начальные условия должна стремиться к бесконечности, но умноженная на е она будет стремиться к О *. Последнее вытекает из абсолютной интегрируемости и интегрируемости с квадратом некоторых функций **.

Определение 10.3. Выходной сигнал линейного элемента устойчив с коэффициентом затухания а, если существует такое действительное а, что для каждого множества начальных условий импульсная переходная функция g (f) и реакция на начальные условия-(f) удовлетворяют соотношениям

оо со

l[eg{t)fdt<o<,; jet\g{t)\dt<oo; о о

со со

[e eo(Of d<oo; J [e eo(Of < оо; о о

le eo(z)<oo; 0:too.

(10.9)

Кроме того, если а = О, то говорят, что линейный элемент имеет устойчивый выход.

Отметим, что линейный элемент имеет устойчивый выход степени а, если его передаточная функция G (s) и передаточная функция, соответствую-

* Однако следует обратить внимание на пример 10.2. ** Условия 10.9 означают, что функции eg (t), еео (t) и еео (t) принадлежат к классу функций S2, интегрируемых с квадратом. Следовательно, можно записать, что e *g(t) £ S2, е -*ео (t) £ Sa и е -Чо (t) с Sa ддя произвольных начальных условий. Более того, функций e *g (t) принадлежит к классу абсолютно интегрируемых функций, обозначенному через Sl (см. приложение 1,11).

щая реакции на начальные условия Eg (s), есть рациональные функции переменной S, полюсы которых лежат в области Re s < -а. Следовательно, а характеризует степень затухания реакции линейного элемента.

10.2. ПОНЯТИЕ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОМ УПРАВЛЕНИИ И АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОМ ВЫХОДНОМ СИГНАЛЕ

Обычно используемые определения устойчивости, например определения, данные в гл. 9, связаны с анализом асимптотического поведения всех переменных состояний. Понятие абсолютной асимптотической устойчивости по Ляпунову, введенное в гл. 5 и 9, требует уже не только асимптотического стремления к нулю всех переменных состояния, но и налагает некоторые ограничения на динамику переходного процесса. Эти ограничения зачастую чрезмерны, поскольку чаще всего нас интересует лишь выходная реакция системы на начальные условия, а динамика других координат несущественна (правда, если это требуется, то поведение всех.интересующих нас координат можно определить, исходя из структуры системы и асимптотического поведения сигнала управления и выходного сигнала). В дальнейшем нас будет интересовать главным образом асимптотическое поведение сигнала управления и выходного сигнала линейной части системы. Именно поэтому введем определение, эквивалентное понятию устойчивости основной системы, показанной на рис. 10.1 и описываемой уравнением (10.1).

Определение 10.4 (асимптотически устойчивое управление и асимптотически устойчивый выходной сигнал *). В системе управления, описываемой уравнением (10.1), будем называть:

1) асимптотически устойчивым управлением с коэффициентом затухания а, такое управление, когда существует такое действительное число а, что при произвольных начальных условиях выполняется неравенство

\let u(t)fdt<oo; (10.10)

2) асимптотически устойчивым выходным сигналом с коэффициентом затухания а такой сигнал, когда существует такое действительное число а, что при произвольных начальных условиях выполняется неравенство

[e e(0]Mf <оо; (10.11)

3) абсолютно асимптотически устойчивым управлением с коэффициентом затухания а для (и/е) с la, b] (абсолютно асимптотически устойчивым выходным сигналом с коэффициентом затухания а для (ule) с [й, Ь]) такое управление (такой сигнал), при котором условия (10.10), (10.11) выполняются для каждой нелинейности, удовлетворяющей условию (10.2а). При этом, как и в определении (10.1), (ы/е) g (й, Ь), либо {и/е) {а, Ь], либо {ule) g [а, Ь);

2) асимптотически устойчивым управлением, асимптотически устойчивым выходным сигналом или абсолютно асимптотически устойчивым управлением для (ы/е) 6 [й, Ь], абсолютно асимптотически устойчивым выходным сигналом для (ы/е) g [й, Ь] такое управление (или такой сигнал), при котором а = О Б пунктах 1), 2) и 3) соответственно.

Смысл этих определений становится ясным из следующей леммы:

* Асимптотически устойчивое управление и асимптотически устойчивый выходной сигнал определяют, по существу, понятие устойчивости в пространстве S2 [174].

Лемма 10.1. Если в основной системе (10.1) степень устойчивости выходного сигнала равна а, а нелинейный элемент удовлетворяет условию (10.3), то из условия асимптотической устойчивости управления с коэффициентом затухания а следует, что

lime e(0 = 0, (10.12)

Полученное условие означает, что при сделанных предположениях е (О стремится к нулю быстрее, чем е~ , если а >> 0. Хотя эта лемма почти очевидна, ее формальное доказательство, приведенное в приложении III связано с некоторыми тонкостями, которые проявляются в тех случаях, когда, например, функция е е {t) равна нулю всюду, за исключением счетного множества интервалов убывающей длины. В этом случае функция еР-г (f) интегрируема с квадратом, но условию lim ее (t) = О она не удов-

t-> со

летворяет.

Пример 10.2. Если

а, tkttk + (-y, k=0, 1,2, О Б остальных точках.

V ft=o

но при этом ее (t) не стремится к нулю.

Такое положение встречается чрезывчайно редко; поэтому, принимая лемму 10.1, мы считаем, что для систем вида (10.1) такие случаи не имеют места. Понятия асимптотически устойчивого управления и асимптотически устойчивого выходного сигнала взаимосвязаны через линейную часть системы.

Лемма 10.2. Пусть степень устойчивости выходного сигнала линейного элемента равна а. Если для основной системы (10.1) управление есть асимптотически устойчивое управление с коэффициентом затухания а, то выходной сигнал является асимптотически устойчивым выходным сигналом с коэффициентом затухания а. Более того, если для каждого множества начальных условий существует число Мо такое, что во (f) Мое~ , то существует число М, зависящее от Мо, такое, что е (i) Ме- для всех t *.

Эта лемма означает что убывающий сигнал управления и (f), который удовлетворяет условию (10.10) при подаче на линейный элемент, чья импульсная переходная функция убывает так же, как и и (f), дает на выходе сигнал -е (t), убывающий таким же образом. Прежде чем провести доказательство, отметим, что в общем случае из условия асимптотической устойчивости управления не следует, что выходной сигнал характеризуется тем же свойством.

Пример 10.3. Рассмотрим основную систему (10.1) при

g(t) = l- е- =

L S (S + 1) J

* Условие I ео (О I jWoe выполняется, например, для всех лицейных элементов, удовлетворяющих обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых корни характеристического уравнения имеют отрицательнйе действительные части. См. упражнение 10.7