13.10. Уравнение движения вертикально запущенной ракеты приближенно описывается уравнением + kx + g ~ и ((); k, g>> О, где х - вес ракеты на стартовой площадке. Тяга и ограничена О ы f/, кроме того, общее количество топлива задано следующим функционалом:

и (О dt = b,

где Т произвольно. Целью управления является нахождение и (f) для О / Г так, чтобы максимизировать скорость ракеты к моменту времени Т:

а) приведите задачу к виду, пригодному для методов, рассмотренных в этой главе;

б) найдите для данной задачи уравнение Эйлера-Лагранжа, условия Вейерштрасса и трансверсальности.

13.11.- Для системы первого порядка х= и, ] ы 1 оптимальное по быстродействию управление всегда равно к = +1:

а) покажите, что данное решение не удовлетворяет условию Вейерщтрасса для = = 1]) (х - ы);

б) покажите, что если Lj = ч]) (л; - м) -- Я (1 - - v) (последнее имеет место, когда используется подход Валентайна), то условие Вейерштрасса будет вьшолняться.

13.12. Покажите, что условие Вейерштрасса (уравнение (13.32)) выполняется для траектории с сильной вариацией (13.28).

13.13. Рассмотрим задачу оптимизации как задачу Лагранжа, когда траектория начинается с поверхности Рх (i) = О и заканчивается на поверхности рг (х) = 0; найдите для нее соответствующее условие трансверсальности, если заданы:

а) система первого порядка;

б) система п-го порядка.

13.14. (Задача Цермело). Рассмотрим моторную лодку, движущуюся по течению; текущие координаты х Ха изменяются так, что компоненты скорости хк х описываются функциями /j (х Х2, t) и /а (xi, Х2, t) соответственно. Допустим, что лодка движется с постоянной скоростью V относительно воды. Единственной переменной, которую можно непосредственно изменять, является угол вектора скорости 6 относительно оси х,. Таким образом, уравнения движения будут

Xi = fl (xi, Х2, t)+ V COS Q; Xi = /a (x Xg, {)+ V sin e.

Определите уравнения Эйлера-Лагранжа и условие Вейерштрасса для задачи, если лодка должна передвинуться из точки JCo в точку Xf за минимальное время. Сделайте это, когда:

а) ограничения на величину 6 отсутствуют;

б) 16(016;

в) О (f) = О (т. е. выбрать такое постоянное управление 6*, чтобы удовлетворить условиям задачи).

13.15. Покажите, что задача Лагранжа может быть преобразована в задачу Майера и обратно.

13.16. Покажите, что скорость ьо (при полном сгорании топлива второй ступени) вертикально поднимающейся двухступенчатой ракеты может быть задана уравнением

60= г ] , Л-К 1п-

где и si, i - 1,2 являются соответственно отношениями массы полезной нагрузки и массы остальной части ракеты (т. е. той части, которую занимают элементы конструкции, топливо и т. д.) к общей массе для t-й ступени. Найдите величину 1 которая максимизирует Vbo, если /i/a = const. Каков физический смысл ограничения = const?

13.17. Рассмотрите объект, заданный уравнением у (t) = ku (f), и синтезируйте управление с обратной связью, которое минимизирует интегральную квадратичную ошибку

(r{t)-y{t)rdt

относительно единичной ступенчатой функции г (t), приложенной в момент времени < = 0.

Решение должно быть таким, чтобы соблюдалось ограничение

13.8. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

По вариационному исчислению рекомендуем книги [50] и [156]. Более полное изложение вариационного исчисления, включающие доказательство метода множителей Лагранжа, приведено в работе [2]. Подробное изложение вариационного исчисления и его приложения к задачам управления дано в книге [73].

Инженерный подход к решению задачи Майера можно найти в работе [34]. Много задач, решенных вариационными методами, приводится в работе [124]. В книге 188] изложение вариационного исчисления доступно для широкого круга инженеров.

Для более глубокого изучения вариационного исчисления в приложении к системам дифференциальных уравнений читателю предлагаем работу [138]. В этой статье И. Мак-Шейн дал доказательство метода множителей Лагранжа в общем виде. Использованные при этом математические приемы нашли свое применение при доказательстве Понтрягиным принципа максимума; работа [73] объединяет наиболее важные результаты по этим вопросам.

Решение задачи Больца можно найти в монографии [19].

ГЛАВА 14

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

В 1956 г. Беллман, Гликсберг и Гросс [15] рассмотрели задачу оптимального по быстродействию управления применительно к линейному объекту новым геометрическим способом. Они рассматривали эту задачу в пространстве состояний, введя понятие множества достижимых точек. Показав, что эти множества являются выпуклыми и расширяющимися во времени, они смогли доказать, что оптимальное решение должно быть релейным. Кроме этого, было также доказано, что для объекта с действительными отрицательными полюсами каждая компонента функции управления может иметь самое большее п- 1 переключений полярности, где п, как обычно, равно порядку линейного объекта. Хотя задача, рассмотренная Беллманом, не являлась наиболее общей в области оптимального управления, им удалось указать весьма плодотворный путь для последующих исследований. Идя, по существу, по тому же пути, Ла-Салль развил эти результаты дальше и использовал их применительно к нестационарному линейному объекту управления. И, наконец, Голкин и ряд других исследователей показали, что с помощью этого метода можно вывести также принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума, как известно, был предложен также в 1956 г. советским ученым Л. С. Понтрягиным. Этот принцип особенно полезен при рассмотрении таких задач, как задачи оптимального по быстродействию управления, которые сравнительно трудно решать с помощью вариационного исчисления.

В данной главе предпринимается попытка объединить геометрический подход Беллмана, метод Ла-Салля и результаты, получаемые с помощью принципа -максимума ). Таким образом, мы не только сможем рассмотреть задачу оптимального управления с более наглядных позиций по сравнению с вариационным исчислением, но и в большей степени сможем оценить результаты, полученные Л. С. Понтрягиным.

Начнем с рассмотрения метода Беллмана; затем отметим наиболее значительные работы Ла-Салля и в заключение перейдем к принципу максимума Понтрягина и покажем, как можно его использовать при решении задач.

В настоящей главе при выводе принципа максимума используются лишь сильные вариации. Это дает возможность отказаться от типичных операций взятия производных отчасти со слабыми и частично с сильными вариациями, используемых в случае классического вариационного исчисления. Кроме того, изложение основано на введении функций Гамильтона, что позволяет избежать дополнительных переменных и уравнений. Такой подход не нов

Наше изложение тесно связано с работами Галкина [68, 69].

Хестинс еще в 1949 г. использовал гамильтонов подход к решению задач оптимального быстродействия (см. § I3.I).