Уравнение (11.4) имеет такой вид, что может быть проинтегрировано методом, примененным в примере 3.6, тогда

х(0 = х(0)ехр

j w (т) dx

-ехр

w (т) dx

z (x) w (t) exp

- j К((Х)ф

Так как z (t) О и w (f) 0, то

j да (t) dx

x{t)x (0) exp Ho из определения x (t) следует, что x (0) = с.

r(t)

(11.5)

(11.6)

erf;

[e(t).t]

u(t)

g(t)

y(t)

Рис. 11.1. Схема системы управления для доказательства теоремы 11.1

Тогда при Z (f) О из уравнения (11.3) найдем

v(t) = x{t) - z{t)x{t) = c exp

w (x) dx

что доказывает лемму.

При помощи этой леммы мы можем сразу же получить неравенство относительно одноконтурной нелинейной системы с обратной связью, изображенной на рис. 11.1. Система задается следующими уравнениями:

г/(0 = -ео(0+ \git-x)u{x) dx; о

w () = сГ [е (t), t]; u{t) = r it) ~ у it);

(11.7)

это идентично системе уравнений (10.1), за исключением добавленного входного сигнала г (f).

Теорема 11.1. Рассмотрим систему, приведенную на рис. 11.1. Предположим, что:

1) для линейного элемента начальные условия выбраны так, что удовлетворяются следующие неравенства:

\eoit)\c*; 1()1 се- , (11.8)

где Cq, cg я а - константы;

2) для нелинейного элемента существует константа К такая, что

I д(0 /Се(0 для любого ; (11.9)

3) для входного сигнала существует константа такая, что

I (О I <се- * для любого t. (11.10)

Если вьшолненно неравенство

a>/CCg, (11.11)

то е (О О при t- оо. Более того, реакция е (t) ограничена:

\e(t)\ (Со + Сг) е- ( -g)(11.12)

Для доказательства теоремы применим соотношения (11.8) - (11.10) к уравнению системы (11.7), тогда получим

I е (/) I < (Сг + Со) е-< + Ксе- J I е (т) [ е - d-c

\e{t)\et (с, + Со) +/Ccg [ е(г)1е Мг.

Применяя лемму 11.1, сразу приходим к уравнениям (11.12).

Теорема 11.1 определяет относительно слабую границу, хотя и обеспечивает удобный способ для быстрой проверки устойчивости систем. Этот способ предпочтительнее по простоте метода Попова, хотя последний дает более точную границу устойчивости.

Пример П.1. Рассмотрим уравнение затухающих колебаний Матье из примера 10.13.

ё(0 + 2е (О + [с - 3 - d cos at] е (t) = 0. (11.13

Используя обозначения рис. 11.1, имеем

r(t)=Q; uif)=k(f)e (f); G (p) = (p с - 4; (0 = cos соЛ (11.14)

Импульсная переходная функция для G (р) равна

g(t) = -==smYc-it. У с -А

Следовательно, можно написать

\g{t)\

2 lA4 -с

е~, О 4.

lAc-4

Границы для переходной функции по начальным условиям должны иметь те же самые показатели. Таким образом, в обозначениях теоремы 11.1 имеем

2 /4 -с

; а = 1 - [/4 - с, если с < 4;

Ср =- ; а = 1, если с>> 4.

/с-4

Достаточное условие для того, чтобы lim е (f) = О, заключается в следующем: {2(Г;4=Ь-4+с)..<4;1

Далее находим, что граница для d, определяемая из неравенств (11.15), составляет около половины той, что получена в примере 10.13 частотными методами в гл. 10 (см. также упражнение 10.6). Это не удивительно, если учесть простоту использования теоремы 11.1. Однако именно эта простота позволяет считать настоящий метод весьма удобным для быстрого рассмотрения задач, где требуется достаточное условие устойчивости, близость которого к истинной границе устойчивости несущественна.

11.2. УСТОЙЧИВОСТЬ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЛЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ПРИ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Существует хорошо согласующаяся с интуицией эквивалентность понятий устойчивости и устойчивости при ограниченных входном и выходном сигналах для ушнейных стационарных систем. Оказывается, что эта эквивалентность сохраняется и для линейных нестационарных систем, если выполняются еще некоторые условия.

Рассмотрим линейную нестационарную систему, задаваемую уравнением

x{t)Ф {t, Q X {Q + J Ф т) и (т) dx. (11.16)

Определим норму переходной матрицы:

\\i.t,to)l= S t\Pii{to,t)\.

Тогда справедлива следующая теорема [13], [158]. Теорема 11.2. Для системы (11.16):

1) для любого ограниченного входа и (t)* и для любого ограниченного начального условия вектор состояния х (i) ограничен для всех t о;

2) существуют положительные константы b и с такие, что

IIФ {t, to)\\b <:оо для любого to (11.17)

Ф (t, x)\\ dxc<oo для любого tto, (11.18)

3) существуют константы М >> О и a >> О такие, что

IIФ (t, to) II Мег~ мя tto, (11.19)

4) для и (t) = О состояние равновесия л: = О равномерно асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Для того чтобы показать, что из условия 1) следует условие 2), допустим, что условие 2) не выполняется.

Рассмотрим специальный входной вектор и (/) = О и специальный вектор начальных условий х (to), который равен О для каждой компоненты, исключая k-ю (О k п), которая равна 1. Предположим, что существует момент времени t такой, что компонента Фу вектора Ф не ограничена, т. е. Ф/А о) = сю, тогда

оо = I Фу, {t, /о) I = I Xj (01 Six, it) I II д: (О II, ЧТО противоречит условию 1).

* Сигнал и {fj ограничен, если существует такое число U < оо, что выполняется неравенство! и (011 и, где евклидова норма вектора и есть:

II (011= S HO

\г=1