Из уравнений (11.84) и (8.61) следует, что корень z = -1 соответствует периодическому решению линеаризованной системы, изображенной на рис. 8.15. Согласно принятому толкованию теоремы 11.8 (покажите это) собственные колебания исходной релейной системы будут орбитально асимптотически устойчивыми, если все корни (11.85) лежат в круге \z[<l, кроме единственного корня z= -1.

Рассмотрим контур С, определяемый уравнением z = 1, за исключением бесконечно малой полуокружности вне z = 1, около точки z = -1 и, возможно, около точки z = -)-1 (если g (z) имеет полюс в точке z = +1). При предположениях, сделанных относительно линейного элемента,- область вне. контура G на z-плоскости переводится на g (z)-плocкocти в область правее точки S (-1). Точка g (-1) не будет включаться тогда и только тогда, когда изображение z = -1 + ге при я/2 6 Зя/2 и г О на g (z)-плocкocти обходит точку 9 (-1) справа. В окрестности точки z = -1 имеем

(г) = (-1) +

уО; -fe; (11.86)

но из выражений (8.3), (8.62) и (8.63) можно получить, что -

д\т<</ (ш)/5ш]= (2я/У/ш?) Ш (z)/&] ,. . -Следовательно, выражение (11.86) преобразуется к виду . : ! .

Поэтому годограф с/.{г), отображающий С, будет обходить точку (-1) справа и не будет сковывать ее, если [д Im о7 (т)/5ш] <; 0. Согласно критерию устойчивости Найкви-ста *, формуле (11.85) и теореме 11.8 ** делаем вывод, что периодическое решение исходной системы устойчиво и орбитально асимптотически устойчиво.

11.7. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ СЖАТОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Большое значение при анализе устойчивости приобретают идеи функ- ционального анализа ***: Однако мы рассмотрим только один важный его вывод: теорему о неподвижной точке сжатых отображений. Введем некоторые основные понятия. ,

1. Абстрактные и банахово пространства

Как следует из названия, функциональный анализ оперирует с функциями. Аналогично векторному пространству ё , которое является пространством п-мерных векторов, можно определить функциональное пространство. В настоящей главе и гл. 10 использовались некоторые функциональные пространства nSa- Сейчас мы рассмотрим основные свойства, и структуру одного функционального пространства, называемого линейным функциональным пространством.

Линейное функциональное пространство - это совокупность функций Vy, V2, . . ., обладающая следующими свойствами:

1) относительно элементов пространства 1 определены две операции: первая - сложение двух элементов и Vj, обозначаемое + Vf, и вторая - умножение на скаляр а, обозначаемое аf,-. -Требуется, чтобы такие операции, примененные к элементам совокупности, давали в качестве результатов элементы этой же самой совокупности. В частности, Iv = v;

* В СССР этот, критерий устойчивости именуется как критерий устойчивости Михайлова-Найквиста (Прим. ред.).

** См. сноску на стр. 325.

*** Можно отметить, что функциональный анализ широко используется в теорииоптимального управления. Интересующегося читателя отсылаем к работе Аоки [4] и книге Портера [164]. \ . . . . . .

2) существует нуль-функция 9 такая, что, v + Q = v для каждого v из W, и такая, что 6f = 9;

3) умножение и сложение являются ассоциативными операциями в том смысле, что а (f, + vj) = aVi + av,-; (a -f P) f,- = avi + Vj.

Если для каждого элемента v функционального пространства Я/ определить норму jvl таким образом, что а) г?>0 при v ф Q а Ivl = О при V = 9; б) I) I) = ) а 11] и в) щ,. + Vj < и,-1 +1 г /1, то называется нормированным функциональным пространством.

Последовательность функция {v, v, .,\, определенная на нормированном функциональном пространстве 4/, называется последовательностью Коши, если для каждого е >- О существует целое положительное число такое, что для каждого целого положительного/п, Цп+т - п<> каково бы ни было N. Последовательность называется сходящейся к некоторому элементу v из Я/, если каждому е > О можно поставить в соответствие такое, что - \\ < е для всех п N.

Полным нормированным линейным функциональным пространством Я/ называется такое, в котором каждая последовательность Коши сходится к некоторому элементу из Я/. Такое пространство называется банаховым пространством.

Пример П.5. Рассмотрим множество всех действительных непрерывных функций f (t), определенных на временном интервале [ц t]- Определив обычным образом сложение и умножение и введя норму

ll/i (0-/2(011= max]/1(0-/2(01.

получим функциональное пространство G Ц al- Последовательность Коши * {/ (Q, /2(0, . . . (сокращенно {/ (0}) в этом пространстве должна удовлетворять тойу требованию, что для любого 8 > О существует целое число N такое, что если п, mN, то \f lf) - - /m (OK 8 для всех [t t]. Это условие, однако, подразумевает, что последовательность {/ (t)} сходится равномерно. По теореме о равномерной сходимости ** {/ (t)] сходится к непрерывной функции f (f). Таким образом, G [t t] является банаховьгм пространством (см. также упражнение 11.7).

Для п-мерных действительных и непрерывных вектор-функций / (t), определенных на интервале [ti, ts), можем ввести норму

II fa (t) - fb (t) I = max 1/ S Vai (t) - hi (t)r,

где (0 является t-й компонентой (/). Это сразу же устанавливает, что определенное выше пространство / {t) также банахово.

Пример 11.6. Теперь рассмотрим пространство Ж действительных периодических по t функций с периодом Т, соторые являются интегрируемьши с квадратом в течение периода. Если для каждого элемента v этого пространства мы определим норму v как его среднеквадратичное значение

7- \ 1/2 At

\4 = \\v

то нетрудно показать, что пространство Ж является банаховым пространством (см. упражнение 11.9).

* Примером последовательности Коши в пространстве С Yt t] может служить

fn(f) = f (О + сГ , где I а I > 1, а / (Q - некоторый заданный элемент пространства. ** См. любой достаточно полный курс математического анализа.

2. Функциональные операции в банаховых пространствах .i

Два функциональных пространства % часто связываются функцио-, нальным уравнением вида

Ш = V,

которое мы понимаем так: существует преобразование , преобразующее (отображающее) элемент и пространства % в элемент v пространства 4/.

Конечно, преобразование может перевести элемент функционального пространства W в другой элемент того же самого пространства; в этом случае называется оператором. Для таких преобразований иногда бывает интересно найти хотя бы один элемент, обозначаемый v *, который остается неизменным после преобразования . В этом случае ищем такие решения V *, что

v* = V*. (11.88)

Функция V *, которая удовлетворяет уравнению вида (11.88), называется неподвижной точкой преобразования .

Пример П.7. Рассмотрим систему первого порядка х (f) = f (х (t)); х (О) = хо. Если функция f (х) дифференцируема, то решение х (t), которое удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям, непрерывно, а / (х) на всем интервале [0,Т] является элементом пространства 6 [О, Т], определенного в примере 11.5. Определим опера-

тор следующим образом: S [х ] = хо + J / (х (т)) dx; тогда S является отображением

пространства С [О, Г] в себя, и любое решение х (f) системы х - f (х) на интервале [О, Т], удовлетворяющее начальным условиям х (0) = хо, есть неподвижная точка оператора

Иногда требуется ввести понятие нормы оператора. Традицис.нное определение нормы линейного оператора S, заданного на соответствующем банаховом пространстве Я/ и обозначаемого через ЦЦ, будет

; = maxt;. (11.89)

Норма S определяется максимальным значением нормы [v\\ в предположении, что все элементы v имеют единичную норму и принадлежат W. Оператор Ф называется ограниченным оператором, когда вся норма ЦЦ ограниченна. При этом для всех vV имеем

II II 11141- ( -90)

3. Теорема о неподвижной точке сжатого отображения

Ограниченный оператор S, который отображает пространство Я/ в себя, называется оператором сжатия, если для любых двух элементов и Vf, принадлежащих Я/, выполняется следующее условие:

\\9Va~Vblp\\v,-Vb\\, 0<р<1. (11.91)1):

Как указывает само название, расстояние между преобразованными функциями меньше, чем расстояние между исходными функциями.

Особенность операторов сжатия в банаховом пространстве заключается в том, что существует единственная неподвижная точка. Более того, эта

* Линейный оператор обладает тем свойством, что для любых двух функций и, v, принадлежащих банахову пространству V, и любых двух скаляров к, имеем

[kiV+ ku]= kyV+ ku. 1) Заметим, что выражение (11.91) является условием Липшица.