-g-j Используя соотношение (7.25), можно описать следующие нелинейности: 1) идеальную релейную характеристику

, е > 0;

sin е%

~1 -и, е<0;

(7.26)

2) идеальную характеристику однопол у пер йодного выпрямителя

sin e?i I е, е > 0;

О, е<0;

(7.27)

3) релейную характеристику с зоной нечувствительности

f/ I* sin {е - с)% + sin {е +с)%

2U с sin cos сХ

~ я J

и, е>с;

О, --с<е<с;

-и,е<<-с;

(7.28)

* Для того чтобы показать это, рассмотрим интеграл I (р, е) = [ехр (-vk)\X

X [(sineX,)A] dX, который после дифференцирования по параметру равен

= - I [ехр {-vk) ] (sin еЯ) = - . ,- - .

о

Следовательно, ,

/ (и, е) = - [ [el{v +)\dv+ k = -arctg (t/e) + k.

Так как lim / (v, e) = 0, то получим

k = lim arctg ( -) =

v-i-ca \ /

Таким образом, :

/ {V, e) = j [exp (- vK)] [(sin еЛ)Д] бй = о

и поэтому

/(О, е)=/(е) =

, е>0;

--arctg (),е> 0;

--arctg(-),.<0.

е>0;

е<0.

4) характеристику с ограничением

е - и е~и

sin {e - U)X

2е тс

cos еХ sin их , 2U -X-lJ

sin еХ cos их X

d% =

Jt J о

sin еХ sin их

dK =

-U,e<-U; e, - U<e<U; [ и, e>U.

(7.29)

Для всех приведенных выше функций е представляет собой входной сигнал; / (е) - сигнал на выходе нелинейности. Для того чтобы найти эквивалентную передаточную функцию по входным сигналам х я у, необходимо найти амплитуду и фазу выходного сигнала при соответствующих частотах.

Для определенности рассмотрим характеристику идеального реле в виде (7.26). Пусть входной сигнал е, действующий на нелинейность, равен

е (х, у) = Р (cos X + kcos у), (7.30)

где X = (lij + е; у = (d,t + Og.

Имея в виду, что амплитуда Р в случае идеальной релейной характеристики не влияет на выходной сигнал / (е), представим его в следующем виде:

+ U, cosx-l-cosy>0; f(x, y) = . (7.31)

/ V . у cosx+cosy<0.

Функция / (x, y), очевидно, является периодической по обоим аргументам X и у, т. е.

/ {х, у) = f (х ± 2тл, у ± 2пп); п, m = О, 1, . . .. (7.32)

Такие функции могут быть разложены в двойные ряды Фурье *:

fix,y)~Ti Tl [А+тп cos (тх ± пу) +В+,пп sin {тх ± пу)],

п=0 т=0

(7.33)

Л-\-тп - В+тп =

2jt2 J

2jt2

/ {х, у) COS (тх ± пу) dy dx; j / (х, у) sin (тх ± пу) dy dx;

-я -я я я

00 -

J f(x,y)dydx;

-я -я

Boo = 0.

(7.34)

* См., например, работу [77]. В уравнении (7.33) форма записи cos (тх ± пу)

используется для обозначения членов cos (тх + пу) + cos (тх - пу). То же относится к форме записи B i , sin (тх ± пу).

Из условий симметричности имеем B-i-m = О для всех тя п; более того, +тге = -тп- Следовательно, можно отбросить знаки + и - перед индексом.

Подставляя теперь выражение (7.26) в формулу (7.34), получим

71 л Гсо

и ( f г sin (cosx + kcosy)kdk

-л -я Lo

Изменив порядок интегрирования, найдем

со л я

и г dk

COS {тх + пу) dy dx. (7.35)

mn = -j-j7 Ах <ysin[(cosx +cosy)XCOS(тлг + пг/)}. (7.36)

Последнее выражение после интегрирования примет вид

m+n-1 со

ЛТ J

Ann -

(-1) Известно, что **

Jn{kk)J, {k) т-\~п - нечетные; (7.37) *

в остальных случаях. п-\-т - + 1

Jn (ак) Jm (Ьк)

п-\-т-г + 1 п - т-г + 1

при n + m - г+1>0, г> -1 иО<а<6;

Jn(cik)Jm(bk) у

(1)-гмг(

п - т-\- г + 1

при n + m+ l>0, г>0 и а = Ь;

итг I п+т-г+\

Здесь были использованы следующие тождества:

cos (г sin Ф) cos 2пФ йФ = Jn (z);

Я J

sin (г sin Ф) sin (2n + 1) Ф ЙФ = Jn+i (z),

где Jп (х) - функция Бесселя первого рода порядка п. ** См., например, работу [132].