1. Метод разложения на простые дроби

В данном случае по сравнению с ранее, рассмотренным в § 2.4 каких-либо существенных отличий не наблюдается, если не считать возможности появления в разложении постоянного члена, когда порядок М (р) равен порядку L (р) {I = п). Следовательно, имеем

y - cx-\-du,

где d - постоянная.

Все остальные величины сохраняют тот же вид, как в предыдущем случае.

2. Метод разложения на простые множители

Выражая G (р) через нули и полюсы, получим

где 7/ - нули функции G (р). Так как -- = 1 + ~-то передаточ-ной функции G (р) можно поставить в соответствие блок-схему, показанную

р-Л,

Рис. 2.12. Структурная схема линейного стационарного объекта с разложенной на множители функцией G (р), степени числителя и знаменателя которой удовлетворяют условию 1<<п

на рис. 2.12. Выбирая в качестве переменных состояния переменные, приведенные на рис. 2.12, имеем

= XjXi + (Ai -7i) a;

X2 = 22 + (2 ~У2) Xl + {%2 - T2)

Xn - nXn ~\~ Xfi x, У = kXn,

откуда достаточно просто можно найти соответствующие матрицы.

3. Метод, применяемый при аналоговом моделировании

Нетрудно видеть, что для учета числителя необходимо на схеме рис. 2.11 добавить лишь соответствующие прямые связи. Например, система

У df + ep + fp + g и + ар bp + с

реализуется схемой, показанной на рис. 2.13.

Основываясь на этой схеме, можно сразу написать уравнение состояния

u(t)

у cx -j- du, = (1 0 0).

Рис. 2.13. Представление линейного стационарного объекта в виде структурной схемы с прямыми и обратными связями

Заметим, что Л и с не отличаются от матриц в примере 2.5, в то время как Ъ претерпевает изменение; у становится теперь явной функцией от и.

4. Нормальная форма

В данном случае можно избежать использования производных и (t) и, кроме того, уравнение состояния в нормальной форме

можно получить соответствующей заменой переменных.

Пример 2.6. Рассмотрим систему

У Р + а

(Р + 6) (р + с)

или в другой форме

-Щ + Ь + с)-

Вместо обычной замены = у, = и т. д. положим

у= Xi + kgu;

dx, , ,

= + kiu;

= - (b-\c)x-(bc)Xi + Ku.

Из уравнения (2.34) имеем

dy dXi ,

Используя уравнение (2.35), находим

Х2 =

du dt

Из уравнения (2.37) можно получить

dy dx . du . du

a из уравнений (2.36), (2.38), (2.39) найдем

, du , du , ,

du , du ,

(2.33)

(2.34) (2.35)

(2.36) (2.37) (2.38) (2,39)

- (be) [у - кф1]+кф. (2.40)

Приюдя подобные члены и сравнивая с уравнением (2.33), определим

ко = 0;- fei = 1; fej = а - (6 + с).

Таким образом, при указанной замене уравнение состояния для системы, описываемой уравнением (2.33), принимает вид

(2.41)

Для общего случая имеем

Ь (Р) = S n-£p; М (р) = S b ipi,

j=0 /=0

где полином L (р) снормирован, т. е. йо = 1. Читателю предлагается показать, что уравнение состояния в нормальной форме имеет матрицу А того же вида, что и в выражении (2.32), а вектор Ь будет

и выходной сигнал у = Xi-\- koU, где

2.6. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ЧИСЛИТЕЛЕМ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА I > п

Если степень числителя превосходит степень знаменателя, то уравнения состояния будут содержать производные входного сигнала, так что уравнения состояния примут вид

х = Ах+ biu + bjj,+ +bk

у = сх + du.

(2.42)

В данном случае функцию G (р) необходимо записать в следующей форме:

G(p)dop-+---+.p+t:f ::+: . (-

Рациональная часть может быть разложена при использовании какого-либо из рассмотренных методов. Остающаяся часть определяет появление в уравнении (2.42) производных от и.

2.7. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В этом случае система описывается уравнением (2.12). Методы, основанные на использовании разложения на простые дроби, здесь малопригодны. Однако методы, применяемые при моделировании, и метод приведения к нормальной форме могут быть использованы. В частности, если числитель имеет