тура. Покажите, что иногда он справедлив, даже если это предположение и не вьшолняется. Рассмотрите структурную схему рис. 6.5, содержащую нелинейность типа люфт с насыщением (строка 23 в табл. 6.2) при k= 1, В = 4. Допустим, что G (р) определяет запаздывание в виде 2е~:

а) используя метод гармонической линеаризации, определите область изменения величины А. когда автоколебания не возникают;

б) покажите, что из физических соображений все движения будут стягиваться к области равновесия по координате е, если Л > 1; определите эту область (указание: примите е (О = во для О / < 1);

в) сравните приближенные результаты пункта а) и точные результаты пункта б) и объясните, как следует интерпретировать информацию, полученную из анализа методом гармонического баланса.

6.9. Линейный объект с распределенньми параметрами, управляемый приводом, показан на рис. 6.31; предлагаем читателю самостоятельно проделать следующее:

а) для R - О и К = 100 исследуйте существование и устойчивость автоколебаний в системе методом гармонической линеаризации; определите частоту соо и амплитуду уо колебаний на выходе системы;

-2.3Vp

Рис. 6.31. Структурная схема системы управления для примера 6.9

б) покажите, что результат пункта а) не изменяется при любом R фО; определите среднее значение у выходной координаты в зависимости от входа R в состоянии установившихся колебаний;

в) определите коэффициент усиления К, обеспечивающий запас по амплитуде в 6 дб;

г) рассмотрите преимущества и недостатки системы с автоколебаниями при К= 100 и системы без колебаний, полученной в пункте в), анализируя переходную и установившуюся реакции системы на входной сигнал г (t) (никаких вычислений при этом производить не требуется).

6.10. Используя геометрические построения раздела 6.5, доказать утверждения 1), 2), 3) на стр. 166. Покажите, -что область В задается границами, которые изображены на рис. 6.19.

6.11. Для системы, приведенной на рис, 6.5, с нелинейностью, имеющей единичный уровень насыщения, и при G (s) = - , рассчитайте и постройте эквивалентные логарифми-

S (S -j- 1)

ческие амплитудные \у/г\ и фазовые arg [у/г] характеристики замкнутой системы для следующих частот; со = 0,2; 1; 3,5 (указание: используйте геометрическое построение § 6.5).

6.12. Для модели привода, изображенной на рис. 6.20, покажите, что эквивалентную передаточную функцию привода, охваченную обратной связью, можно приближенно определить, как

Л (Я т) = /Vi (Я) Ni Q, (о),

у = хЩ(х); Ni(x) =

arg N2 (у, со) = - arccos N2 {У, ) 1-

6.13. Покажите с помощью метода гармонической линеаризации, что уравнение Вольтерра (задача 5.15) не определяет предельного цикла.

6.14. Для системы, изображенной на рис. 6.32, исследуйте методом гармонической линеаризации существование колебаний. Определите области устойчивости, если они существуют. Найдите амплитуду и частоту колебаний на выходе схемы.

р2-1

Рис. 6.32. Структурная схема системы управления для примера 6.14

6.15. Допустим, что структурная схема системы имеет вид, приведенный на рис. 6.5. Характеристика нелинейности удовлетворяет условию Айзермана (см. § 5.9). Покажите, что метод гармонической линеаризации не позволяет установить существование предельного цикла.в системе.

6.16. Исходя из физических соображений, покажите, почему для системы, задаваемой уравнением (5.87), метод гармонической линеаризации несправедлив.

6.11. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Лучшее изложение метода гармонической линеаризации - гл. 9 в работе [58]. Все изложенное в ней дополняет наши рассуждения. Читателю следует посоветовать также хорошо усвоить в гл. 6 § 6.6-6.11.

В гл. 4 и 5 работы [63] излагается совершенно особый подход к методу гармонической линеаризации. Работа [128], опубликованная в 1956 г., открывает возможности для анализа явления скачкообразного резонанса. Укаанный в работе подход обобщен на однозначные [71 ] и двузначные [55] нелинейности.

ГЛАВА 7

ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПРИ ДВУХЧАСТОТНОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СЕРВОМЕХАНИЗМЫ

В гл. 6 были рассмотрены условия существования и устойчивости автоколебаний, возникающих в автономной системе. При этом предполагалось, что выполняются условия гармонического баланса лишь для основной частоты автоколебаний, а все остальные явления, возникающие из-за нелинейности системы, не учитывались. Такой метод остается до настоящего времени одним из наиболее эффективных в исследовании автоколебаний и вынужденных колебаний, причем область его приложений оказалась шире а точность выше, чем это следовало из первоначальных предпосылок. Даже в тех случаях, когда третьей гармоникой автоколебаний по сравнению с основной пренебречь нельзя, использование понятия эквивалентной передаточной функции оказывается целесообразным. Если результаты, полученные на основе метода гармонической линеаризации, вызывают сомнение, то надо проверить, не содержит ли система дополнительные гармоники или субгармоники основной частоты. Если они имеются, то их можно учесть, предположив, что входной сигнал содержит две составляющие *, и затем решить уравнения баланса для каждой из них; эта идея лежит в основе многих классических методов, использующих аппроксимации более высоких порядков** в том числе и в основе метода эквивалентной линеаризации по двум входным сигналам, предложенного Дж. Вестом [196]. Следует отметить, что такой подход связан со значительными трудностями в вычислениях. При этом, когда учитываются две гармоники, основная трудность состоит в подсчете их взаимного влияния при прохождении сигналов через нелинейность. Определить это влияние и установить условия равновесия для составляющих в замкнутом контуре представляет не простую проблему даже для однозначных элементарных нелинейностей, поскольку в этом случае число переменных увеличивается до четырех.

Вследствие взаимного влияния может быть получена эквивалентная передаточная функция, зависящая от фазы и для однозначной нелинейности. Преимущество такого подхода заключается в том, что сохраняя больше чем одну составляющую, можно исследовать некоторые явления, не поддающиеся анализу методом обычной гармонической линеаризации. Это в первую очередь относится .к проблемам генерации субгармоник и синхронизации. Кроме

I * См. изложение метода гармонической линеаризации при учете систематической составляющей [254], [272], [281] {Прим. ред.).

** См. изложение метода обобщенной гармонической линеаризации [270], [286], [292Т Прим. ред.).