Можно показать, что

Р2 с ?!, Pi, 92, е)+ > (91, Рь е) .

Поскольку Р2 pj, (?2. б) изменяется обратно пропорционально д, то максимум этой величины достигается на меньшем значении 172, а именно (?2- Таким образом, Р2 Р2 (Pi, Яъ 92, 6), а из соотношения (9.40) следует, что

Pi (19 - VТТ- (9.42)

Анализируя выражение (9.41), заметим, что

Р2 (Рь Яь 92, 0) > Р2 (Рь 9ь 92, е)+ > Р2

и, следовательно,

1 Р2 {Яь Рь 92, е)+ = р (Яъ Рь ь, 0)+ =

8->0

Pi (б?!+92+ К)+4(91 + /ад) Yp\-{Y-Yq;f

Из отношений (9.42) и (9.43), выражая через переменные и q, получим необходимые неравенства

Px>Vq~V~qi, (9.44а)

(51 + 92 + 2 K9i92) + 4 (91 + К9192) VpI - (1/92 - V7iY

Р2<-- ..-.2 -- (9-446)

(192 - l9i)

Случай 2. Определим функцию

V = 4 + Y(tj4; 0<9i9(092, (9-45)

которая всегда больше функции Xj--и, следовательно, F удовлетворяет условию

9.27) (объясните - почему ). Тогда

1 9. ; zg) 9(0+2р(/)9(/) ,2 - 1-1-г----------

Если

- 2.,, + 2.22-- --4 (9.46)

+е>0

или, что то же самое.

то функция F знакоотрицательна, и начало координат устойчиво по теореме 9.9. Однако Лиму [126] удалось показать, что при tоо V О, если р (f) ограничено снизу. Следовательно, начало координат асимптотически устойчиво, если вьшолняется условие (9.47). Сравнивая с неравенствами (9.44), заметим, что условие (9.47) требует существования производной q (t).

9.7. ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА

1. Оценка качества переходных процессов в системе

Часто удается использовать метод функций Ляпунова для оценки качества переходных процессов. Идея, лежащая в основе такого подхода, достаточно проста и наглядна. Допустим, мы имеем некоторую стационарную функцию Ляпунова; тогда при заданных начальных условиях стано-

вится известной и величина V (to). При использовании выражения для производной V не представляет труда оценить изменение функции V. Поскольку в большинстве случаев кривые постоянного уровня величины V замкнуты, мы получим способ оценки расстояния от начала координат в функции Бремени.

Однако для того, чтобы можно было воспользоваться этим методом, производная V должна быть найдена как функция времени без интегрирования уравнений системы и полученные выражения должны быть простыми. По-видимому, именно эти два условия и сдерживают до сих пор развитие данного метода. В отдельных же случаях удается получить чрезвычайно интересные результаты. Ниже будет дана оценка качества переходного процесса с использованием метода Ляпунова, а также приведены некоторые примеры. .

Прежде всего заметим, что

Vix, t){-)v{x,t). (9.48)

Таким образом, если в окрестности начала координат величина V/V никогда не превосходит константы (-k), то справедливо

V-kV и V[x{t), t]V{Xo, Qe-*-°\

Предположим, что функция V, выбранная для системы, удовлетворяет условия теоремы 9.13, так что рассматриваемое положение равновесия в начале координат равномерно и асимптотически устойчиво в целом, тогда

V {х, t)p{\x\) VI V {х, t) -6 (IIд:II). В этом случае, постоянная k

Q (\\х\\)

есть просто наименьшее значение отношения -) в рассматриваемой области.

На самом деле точность оценки времени переходного процесса можно улучшить, используя переменные значения величины k между соседними уровнями функции V. В этом случае время переходного процесса определяется в результате сшивки отдельных экспонент. Поскольку сушествует однозначное соответствие между кривой постоянного уровня V и расстоянием изображающей точки до начала координат, то мы получим способ оценки скорости приближения изображающей точки к началу координат.

Для нелинейных систем иногда удается улучшить точность определения переходного процесса, отказавшись от экспоненциальной оценки, так как ее использование равносильно приближению нелинейной системы к линейной. Однако линейная система достигает начала координат спустя лишь бесконечное время, тогда как для нелинейной системы это не обязательно. Следующий пример вводит нас в новую область исследований.

Пример 9.13. Угловое движение спутника относительно центра масс можно описать следующими динамическими уравнениями Эйлера в предположении, что угловая скорость собственного вращения значительно превосходит угловую скорость обращения спутника по орбите [82]:

/iWi - (/г -/з) ШгШз = i;

/аШа - (/з - /i) Ш3Ш1 = г; (9.49)

зМз -(1-Уг) WiO)2 = 3, .

где символы имеют тот же смысл, что и в примере 5.10. Допустим, Ji ф J2 Ф Уз-Квадрат момента углового движения

и = (У1(В1)2 + (у 2)2 -Ь (зO)з) (9-50)

где функция и определенно положительна и стремится к <уо, когда се оо. Следовательно, найденная функция является функцией Ляпунова.

Из соотношений (9.50) и (9.49) получим

= 2 [(/icoi) 1 + (/2ш2) 2 + (/3w3) 3];

(9.51)

эта функция всюду определенно отрицательна, если управления равны щ = ~fi(4ii), где fi ((bj) таково, что

wift (u)t)> О, если cOj =f 0;

. -oo<fj(0)<oo;

0, со .

о

fi (г) d2 = 00.

i= 1, 2, 3

(9.52)

Тогда начало координат асимптотически устойчиво в целом. Теперь рассмотрим случай релейного управления:

Г U;. ш,>0: ~ui=fi() = Us\gniai= -

I - Ui, 4>i < 0;

Ui> 0; i= 1, 2, 3, (9.53)

которое удовлетворяет условию (9.52). Попытаемся отыскать тот предел, которым ограничено сверху время достижения начала координат при движении из произвольных начальных условий.

Пусть и есть наименьшая из трех величин U-, и очевидно, что

1/ (w.-)l

jl 1 &i I, если 1 щ I

(9.54)

Однако из соотношения (9.50) следует, что величина всегда меньше или равна -.- .

Таким образом, условие (9.54)всегда вьшолняется. Так как coj/j (cOj) > О для a>i =j= О, получим

JiifiidJil (9.55)

Подставляя соотношение (9.54) в уравнение (9.51), найдем

Таким образом,

=2LДP = 2

Ti Jiifiii)

Lt=i

>2-

L = 2U \\L\

djLj dt

IL it)IIIIl (t ) \\-U{t-t ); t tt +

(9.56)

(9.57)

Это означает, что угловой момент уменьшается от исходного значения L (fo) II до О за конечное время Т, равное

,11(0)11

(9.58)

Аналогичным образом оценивается и время переходного процесса системы.

2. Синтез одного класса адаптивных систем

Известно, что во многих случаях параметры объекта изменяются непредвиденным образом. Несмотря на это, требуется построить систему, реакция которой на заданные входные сигналы носила определенный характер, например, время переходного процесса на ступеньку оставалось ограниченным. Это привело к разработке класса приспосабливающихся систем с моделью..

Структурная схема приспосабливающейся системы с моделью показана на рис. 9.9. Модель либо реально существующая, либо запрограммированная в управляющем устройстве используется для получения желаемой реакции Xd на входной сигнал г (t). На объект воздействует управление и (f).