тельно, такая система равномерно асимптотически устойчива *. При анализе равномерной асимптотической устойчивости полезно применять следующую теорему, которая позволяет судить об устойчивости опорной траектории нелинейной нестационарной системы по устойчивости ее линеаризованного решения.

Теорема 5.2. [73]. Рассмотрим нелинейную нестационарную систему, описываемую уравнением (5.39), которое можно представить в виде ряда по возмущениям относительно опорной траектории при некотором фиксированном управлении i (f), т. е.

х = {Хг, 1, t)8x + h фх, t),

где h фх, t) содержит члены второго порядка и выше. Пусть -* О

равномерно по t, когда бл:)-0; в этом случае равномерная асимптотическая устойчивость начала координат линеаризованной системы вида бл: =

= q бл: обеспечивает равномерную асимптотическую устойчивость траектории л;1 (t) **. Доказательство этой теоремы будет дано в гл. 11.

Обсуждение вопроса о равномерной асимптотической устойчивости линейных нестационарных систем мы оставляем до гл. 9, где будет изложен второй метод Ляпунова.

Теорема 5.2 дает лишь достаточные условия, что связано с большой степенью общности рассматриваемой системы. В тех случаях, когда речь идет

о движении самолетов или ракет, якобиан линеаризованной системы

является гладкой функцией времени с относительно малой скоростью изменения. В этом случае при проектировании автопилотов с успехом пользуются методом замороженных коэффициентов . Этот метод заключается в том, что в каждой точке опорной траектории переменные параметры фиксируются и осуществляется линеаризация стационарной системы. Проектирование ведется путем анализа последовательности замороженных точек.

Описанную выше методику, конечно, нельзя использовать для анализа всех систем, но она оказывается справедливой во многих случаях, встречающихся на практике, если выполняются следующие условия:

1) коэффициенты линеаризованной системы изменяются незначительно в течение переходного процесса либо изменяются монотонно.;

2) собственные значения линеаризованной системы расположены в удалении от мнимой оси.

В этом случае поведение системы, устойчивой в малом, можно достаточно точно описать линеаризованными уравнениями с замороженными коэффициентами. Однако следует быть очень осмотрительными, когда элементы матрицы Якоби оказываются периодическими функциями или собственные значения уравнений линеаризованной системы близки к мнимой оси. Обратимся к примеру ***.

* По крайней мере, всякая асимптотически устойчивая стационарная система одновременно и равномерно асимптотически устойчива.

** Беллман приводит в работе [14] интересный пример, в котором поьазано, что для выполнения условий теоремы просто асимптотической устойчивости линеаризованной системы недостаточно.

*** См. также упражнение 5.22.

Пример 5.18. Этот пример принадлежит Виноградову [168]. Рассмотрим следующую систему: х = А (f) х, где

-1-9 cos2 6t + 12 sin 6t cos 6t 12 cos 6+9 sin 6+9 sin 6t cos 6f -12 sin2 6+9 sin 6t cos 6t -1-9 sin 6t - 12 sin 6t cos 6t

Л (0 =

Решая характеристическое уравнение \А-- W1 = О, видим, что коэффициенты матрицы А (t) подобраны таким образом, что собственные значения, или характеристические числа, постоянны и равны = -Ij 2 = -Ю для всех t. Отсюда можно заключить, что начало координат системы асимптотически устойчиво, хотя в действительности точное решение системы (в этом нетрудно убедиться) имеет вид

Xi = Oie (cos sin 6/) + ae (sin 6t - 2 cos 6;

- ae* (2 cos 6t - sin 6 + ae * (2 sin 6 4- cos 60. Присутствие члена вида e означает, что система неустойчива.

Иногда бывает желательно получить точное уравнение, описывающее движение, или точное уравнение для переменной бл:, обусловленное возмущением. Используя переменные, вводимые соотношением (5.40), можно записать

8х = х - Хг = /фх-}-Х1, 1, t)~f(Xi, 1, t). (5.59)

Поскольку Xi и щ предполагаются известными, то правая часть уравнения (5.59) является функцией только переменных бл: и t. Тогда можно записать, что

бл: = g- (бл:, t) (5.60)

g{8x, t)fi8x + Xi, 1 t)-f{xi, 1, t). (5.61)

Уравнение (5.60) описывает изменение возмущения бл: со временем. Заметим, что из выражения (5.61) следует

g (О, t) = О, (5.62)

и поэтому для любого момента времени бл; = О есть положение равновесия системы (5.60).

Тогда ясно, что устойчивость в малом относительно траектории сводится к устойчивости возмущенной переменной бл; относительно начала координат в соответствии с уравнениями (5.60) и (5.61). В частности, траектория равномерно асимптотически устойчива, если начало координат соответствующего уравнения в возмущениях равномерно асимптотически устойчиво.

Пример 5.19. Для примера 5.11, применяя принятый порядок линеаризации уравнений (5.54), получим

6W3 =-- (Waofiwi + соибсйа + быбы),

где Cujo, СО20, СО30 - известные решения, относительно которых и записываются уравнения в возмущениях по величинам со,- (t = 1, 2, 3). Управления и{ (f) (i = 1, 2, 3) предполагаются невозмущенными.

5.7. ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗОН РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ

Понятие об устойчивости траекторий, данное в предыдущем разделе, иногда оказывается непригодным. Главным образом это имеет место, когда траектории являются замкнутыми, поскольку в этих случаях в силу данных выше определений выполняется требование одинакового периода движения по близким траекториям. С этой точки зрения более приемлемым будет требование орбитальной устойчивости *, которое связано лишь с устойчивостью относительно замкнутой траектории в целом и не связано ни с одной из конкретных точек этой кривой.

Пусть р (дс, G) - минимальное эвклидово расстояние от точки х т замкнутой кривой G. Введем определение.

Определение 5.10. Замкнутая траектория G системы х =f(x, t) орбитально устойчива, если для любого е > О существует б (е, to) > О, такое, что всякое решение системы х (t) с р {х (to). С) б удовлетворяет р (х (t). С) <е для всех 3 > доопределение 5.11. Замкнутая траектория G системы х = f (х, t) орбитально асимптотически устойчива, если:

а) она орбитально устойчива;

б) для всех траекторий, достаточно близких к G, р (х (t), G) О когда t оо.

Данные выше определения позволяют установить понятие устойчивости зоны равновесных состояний. Заметим, что траектория системы, которая начинается в зоне равновесия или на замкнутой траектории, будет оставаться Б этой зоне или на траектории для всех моментов времени t. Математически зоны равновесия и замкнутые траектории образуют инвариантные множества, определяемые следующим образом.

Определение 5.12. Инвариантное множество системы есть множество точек, обладающих следующим свойством: если состояние системы в момент времени to есть х (to) на Ш, то х (t) остается на 9л для всех - оо f = оо.

Используя это понятие, В. И. Зубов [209] дал следующие определения устойчивости инвариантного множества. Пусть 401 - инвариантное множество, устойчивость которого надо исследовать, а р (х, 9Л) - минимальное расстояние от точки х до инвариантного множества Ш. В этом случае можно дать следующие определения.

Определение 5.13. Инвариантное множество Ш устойчиво относительно свободной системы х = f (х, t), если для любого е > О можно найти б > О, такое, что для всех t tg из условия р (х (to), Ш) <;б следует р (х, (О, Ш) <е.

Определение 5.14. Инвариантное множество асимптотически устойчиво, если

а) оно устойчиво;

б) lim р (х (t), Щ = 0.

f-)-co

Пример 5.20. Из определения 5.10 следует, что движение искусственного спутника Земли в примере 5.15 орбитально устойчиво. Аналогично орбитально устойчиво и движение математического маятника. Однако оба движения были неустойчивы в смысле Ляпунова.

* Впервые понятие орбитальной устойчивости было введено Н. Е. Жуковским {Прим. ред.).