Определим евклидову норму или просто норму состояния л: как функцию вида

\\x\\=(t4\ =(Л) (ЗЛ)

\ 1=1 /

В описанном выше пространстве состояний норма состояния представляется расстоянием (в п-мерном пространстве) состояния системы от начала.

Если для всех t имеем (/) = О, то говорят, что объект совершает свободное движение. Замкнутая система, входной сигнал которой тождественно равен нулю, называется свободной системой.

Состояние Хе свободной динамической системы называется равновесным состоянием *, если при движении вблизи этой точки система в отсутствие внешних сил не удаляется от него. Математически равновесные состояния

системы X = f (х, и, t) соответствуют всем точкам Хе, для которых соблюдается условие

/ (Хе, о, о = о для всех t (3.2)

Если этому условию удовлетворяют точки, покрывающие целую окрестность пространства состояний, то будем называть эту окрестность зоной равновесных состояний.

Пример 3.1. Система

1 ~ а 2 -1

эквивалентна гармоническому осциллятору

(р + 1) % = 0.

Она имеет в точке jc= О - положение равновесия. Следует отметить, что и большинство свободных линейных систем могут иметь в качестве равновесного состояния лишь начало координат (см. пример 3.4).

Пра мер 3.2. Для системы

% = gi 2 = §2 (.X).

где §1 (jc) и gzix) подчиняются условиям ~

g,(x)#0; х2 + д>1(£=1,2); весь круг х\ -\- х\\ является зоной равновесных состояний.

Система х = f стационарна, если f явно не зависит от времени. Это обычно означает, что система не имеет параметров, изменяющихся во времени. В противном случае система будет нестационарной.

Автономной называется свободная и стационарная система. Если состояние системы не является равновесным или входной сигнал не нулевой, то состояние системы будет изменяться во времени. Изменение состояния системы во времени будем называть движением состояния системы или просто движением системы. При данном начальном состоянии х = Хо, t = t, состояния, принимаемые при t > t, будут обозначаться как х (f) или более точно как X (а, t; Xq, to). Совокупность точек, пробегаемых вектором л: ( , t; Xq, to) при возрастании t, называется траекторией состояний системы.

Чтобы отличать траекторию состояний свободной системы [и (t) = 01 от траектории.системы, находящейся под действием внешних сил [и (t) Ф 0],

* В литературе вместо равновесное состояние применяется иногда термин особая точка .

будем называть траекторию свободной системы свободной траекторией. Там, где можно перепутать, будем обозначать свободную траекторию системы как X [t; Хо, to)-

Нетрудно заметить, что траектория состояний системы соответствует частному решению уравнений (2.5) и (2.8), получающемуся при заданных начальных условиях х = Хо, t = to а заданном входном сигнале системы u(t).

3.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

Прежде чем применять математический аппарат для анализа системы, необходимо убедиться, что математическая модель, которая выбрана для исследования, отражает характерные свойства исходной системы. В противном случае применение того или иного метода будет малоаффективным. Первый вопрос, который возникает при описании системы дифференциальными уравнениями, заключается в том, существует ли вообще решение, я если существует, то является ли оно единственным (т. е. при заданных условиях решение одно и только одно).

Существование решения для создаваемых людьми систем гарантируется, так как любая система предназначается для выполнения какой-то функции. Тем не менее можно создать такую математическую модель системы, когда описывающие ее уравнения не имеют решения.

Более важным является вопрос об единственности решения. Характер поведения физических систем может быть не единственным, и соответственно математическая модель должна иметь не единственное решение. Если такой случай имеет место, то многие из известных математических методов становятся непригодными.

Ниже определяются достаточные * условия существования и единствен-, ности решения системы уравнений относительно переменных состояния. Эти условия используются в последующих главах, когда разбираются математические методы, предварительным условием применимости которых является единственность решения.

Заметим, что известное нам воздействие и (t) может рассматриваться как переменный параметр. Другими словами, система с заданным воздействием и (f) считается полностью эквивалентной ряду других систем, в которых в (/) = О, и с точки зрения существования и единственности решения может исследоваться теми же методами.

Рассмотрим теперь систему

x = f{x, t); х = Хо при t= to (3.3)

или эквивалентную систему

x = f(x, и (t), t); х = Хо при t = to, (3.4)

* Так как в последующем будут использоваться необходимые и достаточные условия, рассмотрим кратко эти понятия. Если А - необходимое условие появления события В, то при появлении события В событие А также должно появиться. Однако появление события Л не гарантирует, что событие В тоже появится. Иногда это формулируют так: событие В появляется только при появлении события А. Если А - достаточное условие появления В, то при появлении Л должно п(3явиться и В, однако появление В не гарантирует появления А. Иногда это формулируют так: событие В появляется, если появляется событие А. Если А - необходимое и достаточное условие появления В, то если А появляется, то появляется и В, и наоборот. Можно, следовательно, сказать, что В появляется в том и только в том случае, когда появляется событие А.

где и (t) - вектор, определенный для всех t о. Достаточные условия существования и единственности решения системы (3.3) определяются следующей теоремой.

Теорема 3.1. Пусть в системе (3.3) функция / (л:, t) определена в области R переменных состояния, характеризуемой л: - jCq fc, в интервале t - 01 с > 0> с > 0) и в отношении хи t непрерывна * в этой области. Если для любых двух векторов состояния-л: , х удовлетворяется условие

II f{Xa,t)-f {Х( t)\\k II Ха - ЛГр , (3.5)

где оо >. >. О, то для системы (3.3) в области R при - оЦ о существует единственное решение. Здесь а удовлетворяет условию

ж} . (3-6)

: mm

где М - максимум функции / (л:, t) в области R для интервала \t - с.

Условие (3.5) называется условием Липшица, а константа k - константой Липшица.

Если областью R является лишь небольшая окрестность {xq, to), то говорят, что система удовлетворяет локальному условию Липшица. Если же константы Ь, с, использованные в формулировке теоремы, могут принимать бесконечно большие значения, то говорят, что система удовлетворяет глобальным условиям Липшица.

Сформулированную теорему можно доказать, используя принцип сжатого отображения. Это доказательство дается в гл. П.

В случае стационарной системы первого порядка х = f (х) для любых значений х и Хр, взятых из представляющей интерес области значений х, условия Липшица мож)но записать в виде

lffa)-f(V .

I Ха - Хр)

это означает, что~ прямая, соединяющая любые две точки кривой / (х), не может иметь наклон, абсолютное значение которого превышало бы k. Если, в частности, / (х) дифференцируема и наибольшее значение df (x)ldx \ в представляющей интерес области х равно k, то для рассматриваемого случая k является константой Липшица. Заметим, однако, что условия Липшица могут применяться и в тех случаях, когда / (х) не является непрерывно дифференцируемой.

Если для случая п = 2 построить поверхность / (xi, Xg) над-плоскостью Xi, Хг, то при учете

/(лса)-7(л:р)

описанная выше интерпретация с использованием наклонов остается применимой. То же самое можно сказать и в отношении п-мерного случая.

Пример 3.3. Функция f (х) = Ух не удовлетворяет условию Липшица в точке хо = О, так как при х - О константа Липшица k должна быть оо.

* Определение непрерывности в пространстве состояний аналогично даваемому для функций п переменных и может быть сформулировано следующим образом: функция / (jc, t) непрерывна в точке t= t,- если для любого е> О существует такое, б > О, что при jCi- - JC21< 6 имеет место / (х, t) - / (х, У < е.

** Символ min {с, Ь] означает наименьшая из двух величин а, 6 .