где qa = kij при i = ]\

qii = -yu + u)==qn при 1ф}.

Теперь воспользуемся теоремой 1.2 приложения I: квадратичная форма (9.2) положительно определенная тогда и только тогда, когда все определители \Qi\, . . ., \ Qn\ матрицы Q положительны*.

2. Если V (х) - однородная функция степени k, т. е. V {ах, . . . , . . ., ах ) =ay(Xi, . . ., х ), то V (х) знакопеременна при нечетном k.

Пример 9.1. Рассмотрим

Определители , .... равны

(?i = 2>0; \Q,\ =

2 О О 3

= 6> 0;

1<?з1 =

2 0 2 0 3 3 2 3 1

= -24 < 0.

Поскольку определитель отрицателен, то функция V (х) не является определенно положительной.

Пример 9.2. Рассмотрим функцию

V (х) = ЗХ1Х2Х3 -Ь 18xx3 + 7x2X3,

которая является однородной функцией третьего порядка и, следовательно, является знакопеременной.

9.2. ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В МАЛОМ ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

Ниже сформулированы четыре теоремы Ляпунова, касающиеся устойчивости автономных систем. В дополнение приводится также теорема Четаева о неустойчивости, которая во многих случаях оказывается полезнее соответствующих теорем Ляпунова. Все теоремы сопровождаются доказательствами, хотя при надлежащем проникновении в существо функций Ляпунова эти доказательства становятся очевидными. Кроме того, приводится большое число примеров, иллюстрирующих содержание всех теорем.

В дальнейшем всегда будем предполагать, что в результате преобразования координат положение равновесия находится в начале координат фазового пространства и, следовательно, задана система

x==f{xy, /(0) = 0.

(9.4)

Теорема 9.1 (первая теорема Ляпунова об устойчивости). Если в некоторой области м, включающей начало координат, для системы (9.4) существует функция Ляпунова, то начало координат устойчиво.

* Важно отметить, что обратная теорема неверна, т. е. квадратичная форма (9.2) необязательно отрицательно определенна, когда все определители \Qi\, . . ., \Qn\ отрицательны. Однако можно утверждать, что квадратичная форма (9.2) отрицательно определенна тогда и только тогда, когда определители \Qi\, . . ., <? матрицы (-С) положительны.

Доказательство. Теорема становится очевидной, если ее переформулировать следующим образом: начало координат для системы (9.4) устойчиво, если вдоль траекторий этой системы функция Ляпунова V является невозрастающей. Поскольку, по определению, функция V определенно положительна, то из сказанного вытекает, что траектории системы должны оставаться внутри ограниченной области, включающей начало координат. Ради строгости рассуждений допустим, что область м задана условием II л: II < /ij и пусть V (х) - найденная функция Ляпунова. Рассмотрим точки на поверхности сферы радиуса е с центром.в начале координат (е < К). На этих точках в силу непрерывности функции V существует нижняя граница / такая, что V {х, . . ., /, когда xj =*е; при этом ввиду того, что функция V определенно положительна, / > 0.

Теперь не представляет труда подобрать значение б = е (см. определение 5.1) такое, что в окрестности ЦлгЦ <б функция V (х) < /. Это всегда можно сделать, так как функция V непрерывна и обращается в нуль лишь Б начале координат.

Поскольку предполагается, что = О, то это означает, что для всех

t> to V (х (t)) V {х (to)) < /. Следовательно, х (t) Ц < е для всех t > h, что и доказывает теорему.

Теорема 9.2 (вторая теорема Ляпунова об устойчивости). Если для системы дифференциальных уравнений (9.4) существует в области м, включающей начало координат, функция Ляпунова V (х) такая, что ее производная V определенно отрицательная функция, то начало координат асимптотически устойчиво.

Доказательство. Сформулированная теорема очевидна, так как если вдоль траекторий системы функция V всюду убывает, то в силу положительной определенности функции V все траектории должны заканчиваться Б начале координат, которое является точкой абсолютного минимума функции V. Прежде всего начало координат устойчиво, поскольку х (t) < s для t > to. Требуется лишь показать, что lim х (t) = 0. Поскольку V (х)

МОНОТОННО убывает в м, то это означает, что V (х) стремится к некоторому пределу А. Остается доказать, что А = 0.

Допустим, что А ф 0; это означает, что Цл: () не стремится к нулю, и, следовательно, существует положительное число В такое, что Цл: () > > Б > 0. В данном случае можно найти еще одну константу С такую, что

= -С, так как определенно отрицательная функция. Тогда можно-

записать

V (х (t)) = Vix {to)) + \dtVlx (to)] -it- to) C. .

с течением времени правая часть неравенства становится отрицательной что противоречит условию положительной определенности функции V{x). Полученное противоречие доказывает теорему, так как Л = О, и, следовательно, limjc (f) = 0.

Важно отметить, что теоремы 9.1 и 9.2 (и большинство других теорем второго метода Ляпунова) дают лишь достаточные условия, а это означает, что если для заданной системы дифференциальных уравнений не удается подобрать функцию Ляпунова, то это еще не означает, что система неустойчива. Это лишь говорит о том, что предпринятая нами попытка оказалась неудачной.

Сформулируем три теоремы о неустойчивости, которые часто бывают полезны на практике.

Теорема 9.3 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости).

Если для системы дифференциальных уравнений (9.4) существует непрерывная функция V (х), имеющая непрерывные частные производные в области с, включающей начало координат, такая, что (0) = О, а ее производная по времени определенно положительна вдоль траекторий системы, но при этом в любой окрестности начала координат не является знако-отрицательной функцией, то начало координат неустойчиво.

Доказательство. Физический смысл теоремы совершенно очевиден. Выберем область с:л:<Св. Теперь .необходимо показать, что сколь бы малое б мы ни взяли (такое, что л: б), найдется Xq и момент времени ti, когда Цл: {tj}\\ е или Цл: {t]}\\ окажется вне границ области .

Выберем лГо такое, что V{xo) >0. Поскольку V >0, то вьшолняется V (х (t)) > V (Хо), и, следовательно, существует Л >0 такое, чтоЦл: {t)\\ > > Л. К тому же существует £ > О такое, что V (х (t) В, поскольку траектории движения направлены от начала координат, где V = 0. Следовательно, мы имеем

V(х (0) = V(Хо) + \dtV{X,) + {t-to)В,

что означает неограниченный рост функции V [х (t)). Однако, если л:(0! все время остается в области м, то функция V ограничена; следовательно, существует момент времени t, когда Цл: () выходит из области м, что и доказывает теорему.

Теорема 9.4 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости). Если для системы дифференциальных уравнений (9.4) в окрестности начала координаты существует функция Vi (х) такая, что = О и Vy вдоль траекторий системы имеет вид

Vi = W, + W{x),

где X > О и IF (л:) О в области , и если в произвольной окрестности начала координат функция Vy (х) не является знакоотрицательной, то начало координат неустойчиво.

Доказательство. Как и ранее, выберем jCo! < б такое, что Ух (хо) >0- Допустим, что функция W (х) знакоположительна, тогда для всех t Vi (х (fj) XVi (х (t)). Таким образом, для этого частного случая функция Vi всегда положительна и, кроме того, Vy (х (t)) KVy (х (fj) %Vi{Xo), следовательно, выполняется неравенство Vy (х (t)) (Х + 1)х X Vi (jCq) (t - to) и Vi, неограниченно возрастая, определяет неустойчивое движение.

Более сильной теоремой о неустойчивости, нежели перечисленные теоремы Ляпунова, является теорема Четаева [П8]. Идея этой теоремы заключается в следующем. Как правило, для неустойчивых систем можно отыскать такую функцию Ляпунова Vy (х), что начало координат системы принадлежит границе двух областей. В одной области функции Vy и ti обе определенно положительны; в другой функция Vy определенно положительна, а функция ti определенно отрицательна. Если в данном случае удается показать, что траектории не переходят из одной области в другую, то это и означает. Что система неустойчива.