Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

где qa = kij при i = ]\

qii = -yu + u)==qn при 1ф}.

Теперь воспользуемся теоремой 1.2 приложения I: квадратичная форма (9.2) положительно определенная тогда и только тогда, когда все определители \Qi\, . . ., \ Qn\ матрицы Q положительны*.

2. Если V (х) - однородная функция степени k, т. е. V {ах, . . . , . . ., ах ) =ay(Xi, . . ., х ), то V (х) знакопеременна при нечетном k.

Пример 9.1. Рассмотрим

2 0 2

V (х) = + 4X13 + Зх + 6x2X3 -Ь х = [xixxg ]

0 3 3

2 3 1

Определители , .... равны

(?i = 2>0; \Q,\ =

2 О О 3

= 6> 0;

1<?з1 =

2 0 2 0 3 3 2 3 1

= -24 < 0.

Поскольку определитель отрицателен, то функция V (х) не является определенно положительной.

Пример 9.2. Рассмотрим функцию

V (х) = ЗХ1Х2Х3 -Ь 18xx3 + 7x2X3,

которая является однородной функцией третьего порядка и, следовательно, является знакопеременной.

9.2. ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В МАЛОМ ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

Ниже сформулированы четыре теоремы Ляпунова, касающиеся устойчивости автономных систем. В дополнение приводится также теорема Четаева о неустойчивости, которая во многих случаях оказывается полезнее соответствующих теорем Ляпунова. Все теоремы сопровождаются доказательствами, хотя при надлежащем проникновении в существо функций Ляпунова эти доказательства становятся очевидными. Кроме того, приводится большое число примеров, иллюстрирующих содержание всех теорем.

В дальнейшем всегда будем предполагать, что в результате преобразования координат положение равновесия находится в начале координат фазового пространства и, следовательно, задана система

x==f{xy, /(0) = 0.

(9.4)

Теорема 9.1 (первая теорема Ляпунова об устойчивости). Если в некоторой области м, включающей начало координат, для системы (9.4) существует функция Ляпунова, то начало координат устойчиво.

* Важно отметить, что обратная теорема неверна, т. е. квадратичная форма (9.2) необязательно отрицательно определенна, когда все определители \Qi\, . . ., \Qn\ отрицательны. Однако можно утверждать, что квадратичная форма (9.2) отрицательно определенна тогда и только тогда, когда определители \Qi\, . . ., <? матрицы (-С) положительны.



Доказательство. Теорема становится очевидной, если ее переформулировать следующим образом: начало координат для системы (9.4) устойчиво, если вдоль траекторий этой системы функция Ляпунова V является невозрастающей. Поскольку, по определению, функция V определенно положительна, то из сказанного вытекает, что траектории системы должны оставаться внутри ограниченной области, включающей начало координат. Ради строгости рассуждений допустим, что область м задана условием II л: II < /ij и пусть V (х) - найденная функция Ляпунова. Рассмотрим точки на поверхности сферы радиуса е с центром.в начале координат (е < К). На этих точках в силу непрерывности функции V существует нижняя граница / такая, что V {х, . . ., /, когда xj =*е; при этом ввиду того, что функция V определенно положительна, / > 0.

Теперь не представляет труда подобрать значение б = е (см. определение 5.1) такое, что в окрестности ЦлгЦ <б функция V (х) < /. Это всегда можно сделать, так как функция V непрерывна и обращается в нуль лишь Б начале координат.

Поскольку предполагается, что = О, то это означает, что для всех

t> to V (х (t)) V {х (to)) < /. Следовательно, х (t) Ц < е для всех t > h, что и доказывает теорему.

Теорема 9.2 (вторая теорема Ляпунова об устойчивости). Если для системы дифференциальных уравнений (9.4) существует в области м, включающей начало координат, функция Ляпунова V (х) такая, что ее производная V определенно отрицательная функция, то начало координат асимптотически устойчиво.

Доказательство. Сформулированная теорема очевидна, так как если вдоль траекторий системы функция V всюду убывает, то в силу положительной определенности функции V все траектории должны заканчиваться Б начале координат, которое является точкой абсолютного минимума функции V. Прежде всего начало координат устойчиво, поскольку х (t) < s для t > to. Требуется лишь показать, что lim х (t) = 0. Поскольку V (х)

МОНОТОННО убывает в м, то это означает, что V (х) стремится к некоторому пределу А. Остается доказать, что А = 0.

Допустим, что А ф 0; это означает, что Цл: () не стремится к нулю, и, следовательно, существует положительное число В такое, что Цл: () > > Б > 0. В данном случае можно найти еще одну константу С такую, что

= -С, так как определенно отрицательная функция. Тогда можно-

записать

V (х (t)) = Vix {to)) + \dtVlx (to)] -it- to) C. .

с течением времени правая часть неравенства становится отрицательной что противоречит условию положительной определенности функции V{x). Полученное противоречие доказывает теорему, так как Л = О, и, следовательно, limjc (f) = 0.

Важно отметить, что теоремы 9.1 и 9.2 (и большинство других теорем второго метода Ляпунова) дают лишь достаточные условия, а это означает, что если для заданной системы дифференциальных уравнений не удается подобрать функцию Ляпунова, то это еще не означает, что система неустойчива. Это лишь говорит о том, что предпринятая нами попытка оказалась неудачной.



Сформулируем три теоремы о неустойчивости, которые часто бывают полезны на практике.

Теорема 9.3 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости).

Если для системы дифференциальных уравнений (9.4) существует непрерывная функция V (х), имеющая непрерывные частные производные в области с, включающей начало координат, такая, что (0) = О, а ее производная по времени определенно положительна вдоль траекторий системы, но при этом в любой окрестности начала координат не является знако-отрицательной функцией, то начало координат неустойчиво.

Доказательство. Физический смысл теоремы совершенно очевиден. Выберем область с:л:<Св. Теперь .необходимо показать, что сколь бы малое б мы ни взяли (такое, что л: б), найдется Xq и момент времени ti, когда Цл: {tj}\\ е или Цл: {t]}\\ окажется вне границ области .

Выберем лГо такое, что V{xo) >0. Поскольку V >0, то вьшолняется V (х (t)) > V (Хо), и, следовательно, существует Л >0 такое, чтоЦл: {t)\\ > > Л. К тому же существует £ > О такое, что V (х (t) В, поскольку траектории движения направлены от начала координат, где V = 0. Следовательно, мы имеем

V(х (0) = V(Хо) + \dtV{X,) + {t-to)В,

что означает неограниченный рост функции V [х (t)). Однако, если л:(0! все время остается в области м, то функция V ограничена; следовательно, существует момент времени t, когда Цл: () выходит из области м, что и доказывает теорему.

Теорема 9.4 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости). Если для системы дифференциальных уравнений (9.4) в окрестности начала координаты существует функция Vi (х) такая, что = О и Vy вдоль траекторий системы имеет вид

Vi = W, + W{x),

где X > О и IF (л:) О в области , и если в произвольной окрестности начала координат функция Vy (х) не является знакоотрицательной, то начало координат неустойчиво.

Доказательство. Как и ранее, выберем jCo! < б такое, что Ух (хо) >0- Допустим, что функция W (х) знакоположительна, тогда для всех t Vi (х (fj) XVi (х (t)). Таким образом, для этого частного случая функция Vi всегда положительна и, кроме того, Vy (х (t)) KVy (х (fj) %Vi{Xo), следовательно, выполняется неравенство Vy (х (t)) (Х + 1)х X Vi (jCq) (t - to) и Vi, неограниченно возрастая, определяет неустойчивое движение.

Более сильной теоремой о неустойчивости, нежели перечисленные теоремы Ляпунова, является теорема Четаева [П8]. Идея этой теоремы заключается в следующем. Как правило, для неустойчивых систем можно отыскать такую функцию Ляпунова Vy (х), что начало координат системы принадлежит границе двух областей. В одной области функции Vy и ti обе определенно положительны; в другой функция Vy определенно положительна, а функция ti определенно отрицательна. Если в данном случае удается показать, что траектории не переходят из одной области в другую, то это и означает. Что система неустойчива.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.