-m-r+\ -n+m-r+\ 2 2

.-+. (in

прип + т - r+l>0, r>-1 иО<6<а, (7.38в)

где F (a, P, Y, x) - гипергеометрическая функция и Г (x) - гамма-функция *. Таким образом,

(т+п-1)

(Ч, при k<\; (7.39а)

при ;fe= 1; (7.396)

л =(-1) ;;;:7ZE±ly7

, (-)] при >1. (7.39b)

n-\-m m - /

Предположим, что входные частоты со и cOg несоизмеримы, т. е. отношение coi/cog не является рациональным числом; тогда эквивалентная передаточная функция для двухчастотного входного сигнала с составляющими частотами со и со2 равна A-JP и AJUP соответственно. Для идеального реле имеем

Следует напомнить, что коэффициенты Лю и А- не являются исчерпывающими для определения выходного сигнала, когда составляющие частоты входного сигнала соизмеримы. Например, если х = со + 6, у = Зсо, то коэффициенты Л. Л 21, Л, Л,2, определяют составляющие различных частот выходного сигнала, когда входной сигнал имеет частоту со. Аналогично все коэффициенты А-, Л30, Ле], Л92, - определяют компоненты выходного сигнала, когда входной имеет частоту Зсо. Кроме того, фазовые соотношения, связанные с этими компонентами, также необходимо учитывать всякий раз, когда входные частоты соизмеримы. Коэффициент Л при k << 1 изменяется в основном пропорционально , и если k достаточно малое число, то значением Ап Для п > 3 можно пренебречь.

Одна из областей применения, где представление об эквивалентной передаточной функции для двухчастотного входного сигнала может оказаться полезным, - это теория колебательных сервомеханизмов.

См., например, работу [197].

y(t)

Рис. 7.10. Системы управления с идеальным реле. Эта схема составляет основу любого колебательного сервомеханизма

7.5. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СЕРВОМЕХАНИЗМЫ *

В § 6.6 было показано, что одним из наиболее важных показателей, характеризующих эффективность системы управления, являются автоколебания, которые происходят при значительном увеличении усиления системы, связанном с получением заданного верхнего предела полосы пропускания системы, а, следовательно, и малого времени протекания в ней переходных процессов. Эта полоса пропускания и время протекания переходных процессов в системе недостижимы, так как их получение означало бы неустойчивость системы. В частности, если система в целом линейна, то в ней необ ходимо обеспечить запас устойчивости по амплитуде в 10 дб или более, а также соответствующий запас устойчивости по фазе.

Интересно отметить, что в нелинейных системах эта величина запаса устойчивости иногда является ненужной. Действительно, в случае колебательного сервомеханизма система колеблется со своей собственной частотой.

Ограничения характеристики реле используются для того, чтобы помешать выходному сигналу расти до недопустимых значений. Конечным результатом является максимальное использование полосы пропускания системы, так как усиление эквивалентной системы затем устанавливается автоматически в пределах 6 дб или меньше критического усиления. Это является примером умелого проектирования системы, в которой нелинейность намеренно вводится для улучшения характеристики системы.

Методику расчета колебательного сервомеханизма обычно приписывают Лозьеру [135], [189]. Достоинства такого подхода лучше всего оценить с помощью эквивалентной передаточной функции для двухчастотного сигнала.

Рассмотрим релейную систему, изображенную на рис. 7.10, с уровнем реле и = I. Допустим, что в этой системе при отсутствии входного сигнала г (t) возникают автоколебания с частотой со о- Изучим ее поведение, когда на вход подан сигнал г (/). Для упрощения вычислений предположим, что г (t) изменяется достаточно медленно по сравнению с частотой автоколебаний со о, так что за несколько циклов со о сигнал г (t), в сущности, можно считать постоянным.

Кроме того, допустим, что амплитуда r{t) мала.

При условии, что G Осо) характеризует фильтр низких частот, входной сигнал, подаваемый на реле е (t), можно аппроксимировать следующим образом:

е (О = а + Р sin соо/, (7,41)

где а - средняя величина входного сигнала за несколько циклов колебаний системы.

Если г (t) - постоянная величина, то может быть использован резуль тат раздела 7.1, где из формулы (7.6), полагая А= В, получим соотношения

Л* (а, P) = arcsin-; (7.42а)

(7.426)

* См. работы [57], [114], [135], [189].

Если а/р -> О, то Nile иметь

2Л/яр, а УУй, 4Л/яр. При а/р <0,8 будем

1>

Ndc J Л/ 2

(7.43)

Из соотношения (7.43) видно, что при а/р <<0,8 эквивалентное усиление N,ic по постоянной составляющей будет всегда меньше усиления по переменной составляющей, которое и определяет предельное усиление системы. Однако N,ic может быть не более чем на 6 дб ниже предельного усиления. Так как в линейной системе обычно требуется запас устойчивости около 10 дб или больше, то колебательный сервомеханизм может достичь предельного усиления.

Действительно, если функция г {t) = sin со и со coq, или если две частоты несоизмеримы, то при k = р/а > 1 составляющие выходного сигнала реле можно определить по соотношению (7.39в). Поскольку гипергеометрическая функция F (а, Ь, с, х) может быть представлена в виде ряда

1)6(6 + 1)

п / / \ 1 I g6 . а(а

F {а, Ь, С, х)=\ \ -х-\-

2!с(с + 1)

а(а+ 1)(а + 2)Ь(6 + 1)(Ь 2) 3!с(с+ 1) (с+2)

(7.44)

то для а/р << 1

получим

4t/ яр

- яр \ 2 2 V P / /

4 \ p У 641, p;

(7.45a)

(7.456)

Из последних соотношений снова следует, что Л/д,/Л/д, V2, когда а/р -> О, т. е. Na может быть не более чем на 6 дб ниже предельного усиления.

Отметим еще некоторые особенности колебательного сервомеханизма, которые оказываются исключительно полезными при их практическом использовании. Во-первых, этот класс систем обладает своего рода адаптацией, так как в случае объектов управления высокого порядка в системе сохраняются колебания во всем диапазоне изменения параметров. В частности, если линейная часть G (/со) такова, что ее амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрицательную часть мнимой оси почти под прямым углом, то частота автоколебаний будет относительно независимой от изменений ее параметров.

Во-вторых, из-за высокой частоты автоколебаний можно ожидать, что переходный процесс в системе будет достаточно быстрым.

Покажем на примерах, как проявляются перечисленные свойства.

Пример 7.4. Рассмотрим систему, приведенную на рис. 7.10. Если G (р) - В [1 - - (р/6)]/[р (р + а)], то нетрудно показать (предлагаем проделать это самостоятельно), что для этой системы при отсутствии сигнала на входе на выходе будут колебания с амплитудой

у = ABUlnub и частотой со = ~\/аЪ