первого метода Ляпунова, остановимся на той роли, которую играют входные воздействия в задаче устойчивости.

Если для системы х = f (х, и) вектор управления и постоянен, то в этом случае такую систему можно анализировать как систему без входного сигнала, у которой положение равновесия иное, нежели в первоначальной системе. Другими словами, система х = f {х, и) при и = к (постоянная) движется так же, как автономная система х = f (х, к), положение равновесия которой определяется условием / {Xg, к) = 0. Ясно, что для линейной системы X = Ах Л- Ви, когда управляющие воздействия постоянны и существует матрица i4~, обратная у1, положение равновесия эквивалентной системы находится в точке х = АВк.

Если управление и (t) зависит от времени, то в общем случае невозможно найти такое преобразование, которое определяло бы единственное положение равновесия. Поэтому идеи Ляпунова нельзя переносить непосредственно на системы с произвольным входным сигналом. Однако иногда удается отыскать частное решение, и в этом случае можно проанализировать устойчивость частного решения. Данный вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе. А пока критерий устойчивости можно применять лишь к автономным системам или стационарным системам с постоянными входными сигналами.

Относительно этих систем первый метод Ляпунова гласит следующее: Теорема 5.1. Пусть для автономной системы х = f (х) уравнение возмущенного движения относительно положения равновесия х имеет вид

8х = Щ6х + к{х дх) я lim JL(Il-=0. (5.23) В этом случае:

а) если уравнение линеаризованной системы бл: = бл: имеет собственные значения с отрицательными действительными частями, то положение равновесия лг асимптотически устойчиво;

б) если уравнение характеризуется одним или более собственными значениями с положительной вещественной частью, то равновесное состояние лг неустойчиво;

в) если линеаризованное уравнение системы имеет одно или более собственных значений с нулевой действительной частью, а остальные - с отрицательной, то устойчивость даже в малом* положения равновесия лг нельзя установить, используя лишь уравнение линеаризованной системы.

Доказательство теоремы будет приведено в гл. 9, в которой излагается второй метод Ляпунова.

Исходя из высказанных положений следует ожидать, что вблизи состояния равновесия фазовый портрет рассматриваемой системы будет похож на фазовый портрет линеаризованной системы. В частности для нелинейных систем второго порядка фазовые траектории вблизи положения равновесия будут определяться линеаризованным уравнением при условии, что собственные значения этого уравнения не расположены на мнимой оси. Тот или иной характер положения равновесия зависит от расположения полюсов линеаризованной системы и определяется так же, как это делалось Б предыдущей главе.

В литературе такие случаи носят название критических.

Обратимся теперь к примерам.

Пример 5.7. Вновь рассмотрим систему примера 5.4 (см. рис. 5.3). Уравнения состояния имеют вид

А А . .

Xi = е; Х2 = е; х = х, х = -2x2 + Злг - / (х);

f (Xi) = \ 4xi, -lxil; (5.24)

У такой системы существуют три положения равновесия

Xie Х2е

Г 4 П

(5.25)

Для того чтобы получить линеаризованные уравнения относительно каждого положения равновесия, введем следующие переменные:

= % - Xi; 62 = Х2 - Х2е- (5.26)

Рассмотрим прежде всего положение равновесия х, = 0; = 0. Для этого случая из уравнений (5.24) и (5.26) следует, что

6% = 62; 62 = -262 - бх.

Характеристическое уравнение линеаризованной системы Х2 + 2Х + 1 = (; + 1)2 = О

(5.27)

имеет двойной корень X = -1. Таким образом (см. гл. 4), такое положение равновесия есть устойчивый узел. Фаговые траектории, расположенные в непосредственной близости от начала координат, будут направлены к положению равновесия (см. рис. 5.4).

Рассмотрим теперь положение равновесия в точке = Х2е = 0. Для этого случая в результате линеаризации получим

diXi = 6x2; 6x2 = -262 + Зб.

Характеристическое уравнение

+ 2Х - 3 = (X - 1) (X + 3) = О

(5.28)

имеет полюсы в точках = +1; X = -3. Следовательно, такое положение равновесия есть седловая точка и поэтому неустойчиво. Точно так же можно показать, что положение равно-

чиво в смысле

весия (Ххе, Xze) = --, 0 является седловой точкой и, следовательно, неустой

Ляпунова (см. упражнение 5.17).

Пример 5.8 Проанализируем устойчивость в малом при движении ракеты в примере 5.6. Допустим, что условие (5.23) выполняется, тогда уравнения (5.20) можно записать в виде

Р - 1

<3 г

Из уравнения (5.29) следует, что

g- AbQ{p + a2)d . д BbQ(p + b2)6

(5.29)

(5.30а) (5.306)

CM(Cl

6. = -

mV Cm

~ cZr

Уравнения (5.30a) и (5.306) позволяют проанализировать устойчивость в малом при возмущении ракеты относительно балансировочного положения (положения равновесия) а,. = = бу = = 0. Справедливость такого анализа обусловлена возможностью применить первый метод Ляпунова.

Характеристическое уравнение неуправляемой ракеты следует из уравнения (5.30) и имеет вид

+ 01+ ао= 0. (5.31)

Движение ракеты лишь в том случае асимптотически устойчиво в малом, если и 2 положительны. Оказывается, именно это условие является главным при разработке крьшатой ракеты. Физически положительность йо и означает, что центр давления (т. е. точка приложения результирующей силы, которая вызывает требуемый момент) лежит позади центра масс ракеты. В этом случае говорят, что ракета статически устойчива.

Если же йо или или оба вместе отрицательны, то центр давления лежит впереди центра масс, и в этом случае говорят, что ракета неустойчива.

При проектировании автопилота неуправляемая ракета, рассматриваемая до сих пор, и представляет тот объект, которым следует управлять. Автопилот при этом предназначен для того, чтобы улучшить запас устойчивости и обеспечить требуемое качество системы. Статическая же устойчивость или неустойчивость лишь означает, обладает ли объект, которым необходимо управлять, указанным свойством *.

Пример 5.9. Оценим устойчивость положений равновесия системы электродвигатель-генератор (пример 4.5). Нормальный вид уравнений движения определяется уравнением (4.35), т. е.

(О + т 4 = [М - 1И0] t (О -

ip(t)i(t)=d + bv{t)+Tj

dt

(О = t ( (т-

(5.32)

di rfib dv

Приравняв величины , - и

нулю, получим координаты точек равновесия ie.

фс, Ve, или

Вводя величину

aie ={М - IVe) tee = -f bVe; ipe = (h)

yd+-{M-a),

(5.33)

(5.34)

получим следующие положения равновесия для различных участков кривой намагничивания (см. рис. 4.20):

(Ж - а)

Lie А

(М - а)

L О J

О J

, если 07<Чз; (5.35а)

, если 7 0;

(5.356)

6 + *шах bM-rld

L аЬ + Щ,

О J

если 43.

(5.35b)

* Следует отметить, что применять статически неустойчивые ракеты при их пуске с самолетов нежелательно, так как в случае отказа автопилота ракета становится снова неустойчивой и возможно ее столкновение с собственным самолетом (Прим. ред.).