G(s)

(Z, т); о <га < 1

Область сходимости

г-- е

и! , (2т+1)е-° ,

-от- Н---,- г\9 +

г>е

е~° sin Ы

Z sin тЬТ + е- sin [(1 - m) ЬТ]

z2-2ze- cos +6-2°

г>е

е- cos 6

,- аТ

г cos mf)r - е cos [(1 - m) ЬГ]

г= - 2ze~ cos ЬТ + е

\А>е

,-аТ

s2 -с-з

2 sh таТ + sh [(1 - m) аТ] z - 2zchaT -\-\

г>е1°1

chat

гсЬтсГ -ch[(l-т)аГ] г - 2z ch йГ + 1

г>е11

s2 (s + fl)

йТ , (атТ-\)

-атТ 1

(г-1)-

г -е

-оТ-

г>тах[1, е ]

- 62

s[(s + a)- + fc2]

at COS (bt - ф)

созФ

Ф = arctg (-f)

z 26-° {z COS (тЬТ - ф) - е-° cos [(1 - то) бГ + Ф]}

2 - Г COS Ф [z - 2ze-° cos ЬТ + е~Ч

2 > max [1, е-°П

z-преобразоваиие выражается с помощью S {г) =S (z, 0). Подразумевается, что g (f) =0 при i < 0.

По аналогий с теоремой П.2 из выражений (П.21) и (П.37а) следует: Теорема П.З. Импульсная система с замкнутым контуром, изображенная на рис. 11.16, устойчива при фиксированном т, если для этого т функция

% (г. т) Щг) % (г. от) - g (г. т) % (г) 1 + (2)+ 1 + (2)

является аналитической в 2 1.

В том случае, когда линейный элемент описывается обыкновенным дифференциальньм уравнением, можно доказать следующую теорему.

Теорема П.4. Рассмотрим замкнутую импульсную систему, показанную на рис. 11.16. Пусть линейный элемент системы описывается обыкновенным стационарным линейным дифференциальным уравнением, состояния которого полностью управляемы и полностью наблюдаемы (см. гл. 3).

1- Система будет устойчивой на выходе при m = О, если все корни уравнения 1 + (2) = =0 лежат в области 2 <;i. Если какие-либо из этих корней лежат в области J 2 [> 1, то система будет устойчивой.

2. Система будет устойчивой относительно каждого значения т, если все полюсы (2 т)/1 + S (2) лежат в области 2 К 1 для каждого значения т. Если какой-либо из этих полюсов находится в области 2 > 1, то система будет неустойчивой относительно каждого значения т.

3. Если все полюсы & (г, т)/[1 + (2)] лежат в области 2к 1 для каждого значения т, уо начальное положение системы будет асимптотически устойчивым. Если какой-либо из этих полюсов окажется в области z> 1, то начальное состояние будет неустойчивым.

в теореме II.4 пункт 3 подразумевает случай 2. Случай 1 представляет собой частный случай пункта 2. Требование в случае 1 содержит лишь гарантию того, что выходная переменная будет стремиться к нулю по времени дискретно. Дополнительные требования в пункта-х 2 и 3 исключают любую возможность скрытых колебаний, которое может иметь место в случае неустойчивости линейного элемента. Тогда при наличии импульсной обратной связи выход системы может иметь хорошие характеристики в дискретные моменты выборки, но в промежутки между дискретными моментамивыборки могут наблюдаться колебания значительной амплитуды. Скрытые колебания не будут иметь места в случае устойчивого линейного элемента.

Заметим, однако, что точка начала координат пространства состояний импульсной системы с замкнутым контуром может быть асимптотически устойчивой даже в случае неустойчивости линейного элемента. Это будет иметь место, если 1) все, нули 1 + (2) = О лежат в I 2 К 1 и 2) полюсы (z) = (2, 0) тождественны полюсам (2, т) для каждого значения т. Последнее условие удовлетворяется почти всегда.

. ПРИЛОЖЕНИЕ III .

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ *

П1.1. Математические термины и соотношения **

1. Классы функций и s

Приведеннэя ниже система обозначений получает все более широкое распространение в технической литературе. Функция fix) считается принадлежащей к классу s на [а, ь\

или на [а, 6] если соответственно \f {х)\йх<с.со или \f{x) 1 - dx<i со. Мы пишем:

а а

f (х) 6 sl на [а, bp или / (л:) на [а, b] .

Строго говоря, f (х) должна быть измеряемой. Последнее свойство обычно имеет место для функций, связанных с реальными системами. Если интервал [а, ь] конечный, то функция, принадлежащая на [а, ь], принадлежит также и s ! на [а, ь]. Однако это не обязательно, когда интервал [а, ь] является бесконечным.

2. Неравенство Шварца

Если f (х) и g (х) принадлежат s2 на [а, ь), то / (л:) g (х) принадлежит на [а, ь] и

Г/ Ь

t{x)g{x)\dx.

I / (х) 2 dx

\g(x)\dx

3. Неравенство Минковского

Если f (х) к g (х) принадлежат й-з на [а, ь], то это справедливо и для f (х) + g {х), и

1 1 П2

\f{x)+g{x)\dX:

jl/WI

4. Теорема Планшереля

Если / (О принадлежит s2 на интервале (-оо, со), то функция ***

f (/co)=l.i.m. f e-i<*f (t)dt.

.* к гл. 10 и 11. ** См. работу [199]

*** l.i.m. означает предел в среднем квадратичном , l.i.m. ft) = f{t) на [а, ь], если ИтГ (О -

- f (О dt = 0. См. работу [199]