Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Оказывается возможным анализировать орбитальную устойчивость и по линеаризованным уравнениям. Поскольку изложение этих идей требует дополнительных определений, то мы вернемся к ним в гл. П.

Можно лишь отметить, что классическое определение устойчивости предельного цикла (см. гл. 4) соответствует орбитальной асимптотической устойчивости. В следующем параграфе излагаются некоторые полезные результаты исследования орбитальной асимптотической устойчивости предельных циклов в системах второго порядка.

5.8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Рассмотрим четыре важнейших теоремы о существовании предельных циклов.

Первая теорема принадлежит А. Пуанкаре и связывает факт существо-, вания предельного цикла с типом особых точек, расположенных в области фазового пространства, ограниченной кривой предельного цикла.

Пусть число N обозначает количество особых точек типа узел , центр и фокус внутри области, ограниченной траекторией предельного цикла, а S - число седловых точек в той же области. В этом случае справедлива следующая теорема.

Теорема 5.3. (А. Пуанкаре). Если в системе второго порядка существует предельный цикл, то N - 5 = 1*. Читатель сам может без труда убедиться в справедливости этого утверждения, проанализировав ряд фазовых портретов. Полное доказательство теоремы можно найти в книге Е. А. Коддингтона и Н. Левинсона [351.

Следующая теорема принадлежит И. Бендиксону [16]; ее иногда называют первой теоремой Бендиксона, и в ней формулируется достаточное условие отсутствия предельного цикла.

Теорема 5.4. (И. Бендиксон). Если система второго порядка описывается уравнениями

Xi = fl (xi, Xg); Xg = /2 (-i.

и при этом существуют частные производные функций (xi, х) и /2 (х, Ха) по каждой из переменных, то предельный цикл не существует в той области фазовой плоскости, где -)- ~- не стремится к нулю и не изме-няет знака.

Доказательство. Вдоль всякой траектории на фазовой плоскости справедливо соотношение

dXi h

(5.63)

которое можно переписать в виде

/2 dxi - /1 dxa = 0. (5.64)

В частности, условия (5.63) и (5.64) выполняются и для предельного цикла.

* Числа N к S можно определить по отношению к области, ограниченной произвольной замкнутой кривой, а не только траекторией предельного цикла. Поэтому разность N - S часто называют индексом Пуанкаре.



Допустим, что предельный цикл существует, и проинтегрируем выражение (5.64) по замкнутому контуру:

(fl - /2 dxi) = О, (5.65>

где G - траектория предельного цикла.

Воспользуемся теоремой Стокса *, которая связывает интеграл по замкнутому контуру с интегралом по площади, ограниченной этим контуром. Тогда можно записать

ф (fl dx, ~ hdxi) J j (- + dx (5.66).

где интеграл в правой части берется по площади, ограниченной траекторией предельного цикла.

Учитывая (5.65), правая часть выражения (5.66) должна стремиться к нулю, но этого не может быть, поскольку подынтегральное выражение

ж ° условиям теоремы не стремится к нулю и не меняет знака.

Это противоречит предположению о существовании предельного цикла, что и доказывает теорему.

Следующая теорема также принадлежит Бендиксону; ее иногда называют второй теоремой Бендиксона.

Теорема 5.5. (И. Бендиксон). Если траектория автономной системы второго порядка все время остается внутри ограниченной области <01 и при этом не стремится к положению равновесия, то такая траектория либо представляет кривую предельного цикла, которая обладает свойством орбитальной асимптотической устойчивости, либо стремится к предельному циклу с тем же свойством.

Теорема достаточно очевидна, но доказательство несколько сложно и поэтому нами опущено **.

Обратимся к примеру.

Пример 5.21. Для лампового генератора, изображенного на рис. 5.6, а, выполняется следующее условие;

Пусть

of(M, (5.68),

где бо - постоянная величина;

f (1) - нелинейная характеристика, показанная на рис. 5.6, б При этих условиях соотношение (5.67) запишется в виде

* Эту теорему иногда связывают и с именем Гаусса. ** См. [16J.

*** Отметим, что / (0) 0.



(5.70)

Проделаем теперь следующее:

1) проанализируем существование и устойчивость особых точек;

2) определим то значение усиления к, которое является необходимым условием для существования предельного цикла;

3) найдем необходимое и достаточное условие, накладываемое на величину к, которое обеспечивает предельный цикл.

Структурная схема для этой системы показана на рис. 5.6, е. Анализируя работу генератора, можно предположить, что начало координат Xi = х = О является положением равно-


их,)

г 1

Пх,)

-7 0 +7 x,

В) г)

Рис. 5.6. Ламповый генератор:

+7 X,

а - принципиальная схема лампового генератора; б Mi е

лампы / (д;,) =--е в зависимости от х,= -2-; е-структурная схе-

JA Lc 0

ма лампового генератора, изображенного на рис. 5.6, а; г

Г Ixi) = в функции от х,

характеристика

. зависимость

весия. Ведь действительно ввиду дифференцирующих свойств линейной части постоянная составляющая тока (ток покоя) не вызывает увеличения постоянной составляющей сигнала на выходе; но в силу положительной обратной связи можно ожидать, что начало координат неустойчиво. Из уравнения (5.69) нетрудно получить следующую систему:

-2- . - (5.71)

Заметим, что

Ч = х.2\ Х2 = -2oCOoX2 - coqxi + Ир f (xi).

df Ы

(5.72) (5.73)

Зависимость f (x) показана на рис. 5.6, г. Из рис. 5.6, б или 5.6, г следует, что

с учетом выражений (5.72) и (5.73) уравнения (5.71) примут вид

Хх = х; 2 = - (2о - / (х{)) ых - cogxi (5.75)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.