Если передаточная функция G (р) не содержит интегрирующих звеньев, то величина <G (0) находится просто. Далее уравнения (7.8а) и (7.86) можно решить графически или как-нибудь иначе. Прежде всего следует найти из уравнения (7.8а) зависимость величины Р от а. Подставляя Р (а) в уравнение (7.86), можно иайти искомые величины со и а, а по а и р.

Графический способ такого решения показан на рис. 7.3. Прежде всего строится функция No (а, Р) для различных величин а от Р (рис. 7.3, а). Затем проводятся горизонтальные

линии, соответствующие значению - Qy Точки пересечения кривой N, (а, Р) с этими пря-

мьми определяют функцию Р (а) (рис. 7.3, а и 7.3, б) *. И, наконец, используем уравнение <7.8б) в виде

= - TvTrW - (9)

где функция Ni [а, р (а)] определяется для каждого а из уравнения (7.7). Ее отрицательная ветвь размещается на отрицательной части действительной оси. Далее строится амплитудно-4)азовая частотная характеристика G (/со) (рис. 7.3, е).

Величины No {а, Р) и Л/i (а, Р) называются эквивалентными передаточ-яыми функциями для двухчастотного входного сигнала.

7.2. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ДВУХЧАСТОТНОГО ВХОДНОГО СИГНАЛА И ИССЛЕДОВАНИЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

В общем случае для определения эквивалентной передаточной функции по двум составляющим сигнала, действующего на входе нелинейности / (х), используется следующее выражение:

л: = а sin ((at + Ф) + sin hatt. (7.10)

Как и раньше, рассмотрим эквивалентные передаточные функции по каждой составляющей и учтем их взаимное влияние, обусловленное действием нелинейности.

Если в предыдущем случае эквивалентная передаточная функция для однозначной нелинейности принимала действительные значения, то при двух синусоидальных составляющих входного сигнала передаточная функция принимает комплексные значения. В частности, если отношение частот есть

рациональное число вида - (тип - целые числа), то эквивалентная пере-

даточная функция безынерционной нелинейности для двухчастотного входного сигнала указывает на появление фазового сдвига.

Проиллюстрируем сказанное, используя понятие эквивалентной передаточной функции для определения в системе субгармонических колебаний. Обратим внимание на следующее явление: если в системе возможно появление субгармоники частоты при подаче на вход синусоидального сигнала <: частотой а у, то, какправило, в системе возникают автоколебания с частотой, близкой к частоте

Условие существования --го субгармонического колебания эквива-jieHTHo двум требованиям:

а) балансу ~ -ой субгармоники внутри контура;

б) балансу составляющей основной частоты.

* Заметим, что при Л В существуют только отрицательные значения а, удовлетворяющие уравнению (7.8а), причем имеется лишь ограниченный диапазон значений а, при которых

прямые -д пересекают характеристику No(a, Р) (пример 7.8).

При вычислении составляющих следует учитывать их взаимное влияние при прохождении через нелинейность. Это можно сделать, используя известное понятие эквивалентной передаточной функции для двухчастотного входного сигнала. . .

Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.2. Уравнение Дуффинга имеет вид

у+(olu + ai= Rsm[ait+в), . ,

и ему соответствует структурная схема, показанная на рис. 7.4, а. Это частный случай более общей системы, изображенной на рис. 7.4, б. Приведенный класс систем характеризуется тем, что в цепь обратной связи включена нелинейность типа кубической параболы;

Rsin(cj,t+B)

f(g)

G(p)

Рис. 7.4. Структурные схемы:

a - для уравнения Дуффинга; б - для системы с нелинейностью в виде кубической функции

Предположим, что сигнал у {{) можно записать в виде

у {t) = sin ((Ut -)- Ф) -Ь aft sin hat, тогда сигнал на выходе нелинейности / {у) будет равен

т= ау it) = ( ? + 2 1) 1 sin (со; + ф) + (2а1 + sin Ш -

ш? да? 3 --~ sin {3at -Ь ЗФ)-- sin 3hat - aafa {sin [(h- 2) at - 2Ф] +

+ sin [(/i + 2) со -T) ]+ - aaa\[sm[{2h~\)at - 0] - sin[{2h+\)at-[-0]]. (7.11)

Допустим, что мы хотим получить субгармонику 1/3 *. В этом случае ft = 3. Группируя члены в выражении (7.11), можно получить эквивалентную передаточную функцию для двухчастотного входного сигнала в виде

Ny (tti, 3, Ф) ay sin (at -f Ф) = -j-aaj [a\ + 2a) sin (at+ Ф ) - - a,xagS\n(at - 2Ф, ;

3 ( I, 3, Ф) a3sin3coi= {2a\ + a) sin Зсо - sin (3co< + ЗФ), или через комплексные величины

Hi ( 1, 3, Ф) = Ца\ -Ь 2аз ауа, cos ЗФ) + jayU sin ЗФ

( ь. 3, Ф) = [(2 ? + I) - 3 ЗФ - sin ЗФ j

(7.12а> (7.126)

(7.13а> (7.13б>

* Исследование условий возникновения в системе каждой из субгармоник представляет совершенно самостоятельную задачу.

Отметим, что в отличие от примера, рассмТУгренного в § 7.1, здесь обе функции комплексные. ,

Условия существования субгармонических колебаний заключаются в следующем. 1. Должны существовать амплитуды а, и фаза Ф такие, чтобы удовлетворялось следующее уравнение:

( 1, 3, Ф)0(/-) = -1.

(7.14а)

Другими словами, параметры а, д и Ф должны быть такими, чтобы в системе поддерживались автоколебания с частотой ~-.

2. Параметры а, з и Ф к тому же должны быть такими, чтобы при входном сигнале R sin (Cui/+ Ф) амплитуда выходной составляющей с частотой была равна величине д. После несложных преобразований условие баланса колебаний с частотой со можно представить в виде следующего комплексного уравнения:

N3 ( 1. 3, Ф) G (/Oi - - (:os е -f / sin 6) G (/coj) - 1.

3

(7.146)

rlt)=0

o,sin(~ 1*Ф)

Hsin(u,t+B)

Рис. 7.5. Структурные схемы:

a - для уравнения, приведенного в виде (7.14а); б - для уравнения, приведенного в виде

(7.146)

Уравнениям (7.14а, б) соответствуют структурные схемы, приведенные на рис. 7.5, а, б.

Когда и Ох заданы, из уравнений (7.14) можно получить четыре трансцендентных уравнения для нахождения четырех неизвестных а, д, Ф и 6. Если полученная система уравнений может быть решена, то задача определения субгармонических колебаний имеет приближенное решение, обусловленное применением эквивалентных передаточных функций для двухчастотного входного сигнала, когда всеми частотами, кроме задающей и субгармоники Vg пренебрегают.

Уравнению Дуффинга соответствует частотная характеристика G (/со) = -2 ,

Од - со

которая принимает лишь действительные значения для всех со. Это означает, что 6 и Ф равны нулю, а уравнения (7.13) и (7.14) сводятся к двум алгебраическим:

? 9 1 i 9

(7.15а) (7.156)

Из этих уравнений определяются неизвестные х и д.

Интересно проследить, изменение характера субгармонических колебаний в уравнении Дуффинга по мере того, как влияние нелинейности уменьшается.

Уравнение (7.15а) можно записать в виде

(7.16а)

и использовать для исключения из уравнения (7.156) величины со. Тогда уравнение (7.156) примет вид

+ 4 И + Slattg- 27aia + 51а1 = - ScigCu. (7.166)