Это эквивалентно преобразованию

Ф {t, to) = РЬ it, to), при помощи которого уравнение

(3.30)

преобразуется в уравнение

= АФ; Ф(to,to) =

Р- = АРЬ

= Р-ЫРЬ Лб; 6 (to, to) = Р-\

(3.31)

Так как теперь матрица Я диагональная, элементы 6/ матрицы в, как и в случае 1, легко могут быть найдены. Из соотношения Ф = Р6 можно заключить, что каждый элемент Фц должен быть линейной комбинацией членов е (~о).

Простой способ нахождения матрицы Р в данном случае состоит в том, что сначала находятся п собственных векторов Oj (см. § 2, 9), удовлетворяющих уравнению

AVi = kiVc, i=\ ...,п, (3.32)

а затем формируется матрица Р, столбцами которой служат п векторов Vi-Справедливость такого способа становится ясной, если соотношение р-АР = Л переписать как

АР = РА. (3.33)

Если матрица Р сформирована, как описано выше, то нетрудно видеть, что уравнение (3.33) сводится к уравнениям (3.32).

Если уравнения системы записаны в нормальной форме, то матрица А принимает вид (3.32) [см. § 2.4 п. 4]. В этом случае матрицей, преобразующей матрицу А в диагональную матрицу Л, будет матрица Вандермонда

1 1 1 . . . 1

i\ п-1 о fl-1

(3.34)

Матрицей, преобразующей систему из канонической формы в нормальную, является матрица VC, где С - диагональная матрица [cj, . . ., с ] 1см. приложение I]. Чтобы показать это, выпишем выходной сигнал у и л - 1 его производных:

dy dt

1 dt

t=l £=1

(3.35)

Выражая нормальный вектор состояния

У -

dy df

через канонический вектор состояния

Хс =

получим

Cnin

хс = VCxc.

Поскольку Хц и лгс - векторы состояния системы соответственно в нормальной и канонической форме, следовательно, мы доказали вторую часть нашего утверждения. Теперь можно записать

FCA (VC)-1 = FCAC-ii F-1 = Л Af,

где Лдг - матрица Л системы, записанной в нормальной форме. Так как СЛС~ = Л, то VAV~ = Л>, что доказывает первую часть нашего утверждения. ,

3. Метод преобразования Лапласа. Этот метод применим как при простых, так и кратных корнях.

Пусть X (s) = S [х {{)], где - оператор преобразования Лапласа, а X (t) определена на положительной полуоси, начиная с = 0. Тогда уравнение х = Ах при. х (0) = принимает вид

sX(s)-Xo = AX{s),

откуда находим

{sr-A)X(s)Xo, X(s) = {sI-ArXo.

Так как

x{t) = etXo,

[Ф (t, 0)] = [et] = (si- Л)-1

Ф(,0) = -1[(5/-лп.

Следовательно, для нахождения Ф (t, 0) необходимо вычислить матрицу, обратную матрице (si - Л), и для каждого элемента этой матрицы осуществить обратное преобразование Лапласа.

Пример 3.7. Рассмотрим систему

G (р) =.

(3.36)

(3.37)

Р(р + а)(р + Р)

При записи ее в нормальной форме получим

О 1 О

Л = О О 1

о -ар -(a+P)J Матрица Вандермонда имеет вид

так что

К-1 =

1 1 1

о -а -р

О а2 р2

ар 1

а(а-р) а(а-р) а 1

Р(Р- ) Р(Р- )

Отсюда можно найти переходную матрицу Ф {t, 0). Итак,

ф(t, 0) = VeV-

а + Р ар

,-at

-a.t

а(а-Р) Р(Р-а) ар а (а-Р) р (Р-а)

-at

Р -а а -р

Р е-а< , Р е-Р< О а-р + р-а

р~а а-р

а-р р -а

(3.38)

Этот же результат мы можем получить, используя преобразования Лапласа. Имеем

0 1 О

0 0 1 ; (sI~A) =

0 ар -(а + Р)

1 s+(a + P)

S -1 О

О S -1

О ар S + (а + Р) 1

S s(s + a) (s-f Р) s(s + a) (s+P) s + (a + P) 1

(s + a)(s+P) (s+a)(s + P) - ар s

(s + a)(s + P) (s + a)(s + P) 1 (a+P)/aP P/[a (P - a)] , a/[P (P - a)] 1/aP , l/[a (a-P)]

s + a

s + P

s + a

1/[P (P.- )] s + P

P/(P-a) a/(a-P)

s + a s + P

. ap/(a-P) aP/(P-a)

s + a s + P

l/(P-a) l/(a-P)

s + a

s + P

/( -P) , P/(P- ) s + a s + P