Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Это эквивалентно преобразованию

Ф {t, to) = РЬ it, to), при помощи которого уравнение

(3.30)

преобразуется в уравнение

= АФ; Ф(to,to) =

Р- = АРЬ

= Р-ЫРЬ Лб; 6 (to, to) = Р-\

(3.31)

Так как теперь матрица Я диагональная, элементы 6/ матрицы в, как и в случае 1, легко могут быть найдены. Из соотношения Ф = Р6 можно заключить, что каждый элемент Фц должен быть линейной комбинацией членов е (~о).

Простой способ нахождения матрицы Р в данном случае состоит в том, что сначала находятся п собственных векторов Oj (см. § 2, 9), удовлетворяющих уравнению

AVi = kiVc, i=\ ...,п, (3.32)

а затем формируется матрица Р, столбцами которой служат п векторов Vi-Справедливость такого способа становится ясной, если соотношение р-АР = Л переписать как

АР = РА. (3.33)

Если матрица Р сформирована, как описано выше, то нетрудно видеть, что уравнение (3.33) сводится к уравнениям (3.32).

Если уравнения системы записаны в нормальной форме, то матрица А принимает вид (3.32) [см. § 2.4 п. 4]. В этом случае матрицей, преобразующей матрицу А в диагональную матрицу Л, будет матрица Вандермонда

1 1 1 . . . 1

i\ п-1 о fl-1

(3.34)

Матрицей, преобразующей систему из канонической формы в нормальную, является матрица VC, где С - диагональная матрица [cj, . . ., с ] 1см. приложение I]. Чтобы показать это, выпишем выходной сигнал у и л - 1 его производных:

dy dt

1 dt

t=l £=1

(3.35)



Выражая нормальный вектор состояния

У -

dy df

через канонический вектор состояния

Хс =

получим

Cnin

хс = VCxc.

Поскольку Хц и лгс - векторы состояния системы соответственно в нормальной и канонической форме, следовательно, мы доказали вторую часть нашего утверждения. Теперь можно записать

FCA (VC)-1 = FCAC-ii F-1 = Л Af,

где Лдг - матрица Л системы, записанной в нормальной форме. Так как СЛС~ = Л, то VAV~ = Л>, что доказывает первую часть нашего утверждения. ,

3. Метод преобразования Лапласа. Этот метод применим как при простых, так и кратных корнях.

Пусть X (s) = S [х {{)], где - оператор преобразования Лапласа, а X (t) определена на положительной полуоси, начиная с = 0. Тогда уравнение х = Ах при. х (0) = принимает вид

sX(s)-Xo = AX{s),

откуда находим

{sr-A)X(s)Xo, X(s) = {sI-ArXo.

Так как

x{t) = etXo,

[Ф (t, 0)] = [et] = (si- Л)-1

Ф(,0) = -1[(5/-лп.

Следовательно, для нахождения Ф (t, 0) необходимо вычислить матрицу, обратную матрице (si - Л), и для каждого элемента этой матрицы осуществить обратное преобразование Лапласа.

Пример 3.7. Рассмотрим систему

G (р) =.

(3.36)

(3.37)

Р(р + а)(р + Р)



При записи ее в нормальной форме получим

О 1 О

Л = О О 1

о -ар -(a+P)J Матрица Вандермонда имеет вид

так что

К-1 =

1 1 1

о -а -р

О а2 р2

ар 1

а(а-р) а(а-р) а 1

Р(Р- ) Р(Р- )

Отсюда можно найти переходную матрицу Ф {t, 0). Итак,

ф(t, 0) = VeV-

а + Р ар

,-at

-a.t

а(а-Р) Р(Р-а) ар а (а-Р) р (Р-а)

-at

Р -а а -р

Р е-а< , Р е-Р< О а-р + р-а

р~а а-р

а-р р -а

(3.38)

Этот же результат мы можем получить, используя преобразования Лапласа. Имеем

0 1 О

0 0 1 ; (sI~A) =

0 ар -(а + Р)

1 s+(a + P)

S -1 О

О S -1

О ар S + (а + Р) 1

S s(s + a) (s-f Р) s(s + a) (s+P) s + (a + P) 1

(s + a)(s+P) (s+a)(s + P) - ар s

(s + a)(s + P) (s + a)(s + P) 1 (a+P)/aP P/[a (P - a)] , a/[P (P - a)] 1/aP , l/[a (a-P)]

s + a

s + P

s + a

1/[P (P.- )] s + P

P/(P-a) a/(a-P)

s + a s + P

. ap/(a-P) aP/(P-a)

s + a s + P

l/(P-a) l/(a-P)

s + a

s + P

/( -P) , P/(P- ) s + a s + P



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.