Допустим, что величина I+G/n- >б >0 для каждого целого п; тогда для любого элемента Ж с конечной нормой всегда существует элемент v Ж с конечной нормой такой, что

iff + )u = v, (11.105)

где - единичный оператор, определяемый как ffv = v для всех ьЖ. Когда уравнение (11.105) выполнено, то можно символически записать

u = (ff + )-iv; (11.106)

отсюда видно, что для линейного объекта

Ш+ о9ГЦ тах\

Теперь можно сформулировать следующую теорему. yit)

(11.107)

r(t)

Рис. 11.6. Блок-схема итеративного процесса, получаемая по выражению (11.109)

Теорема 11.11 (Сандберг [176]). В приведенной выше, системе, если входной сигнал г (t) принадлежит функциональному пространству Ж и

G(in-2n/T)

р = max

1 +0{]п.2п1Т)

<1,

(11.108)

то существует единственная выходная функция у* (t), которая принадлежит Ж Более того, у* [t) может быть получена как предел последовательных итераций lim Уп (t), где

Уп.г={3+ )-\1{г-Уп)+Уп], (11.109)

а результат п-й итерации удовлетворяет условию

\\У1 - Уо\

(11.110)

Можно отметить, что существование единственного решения при выполнении соотношения (11.108) не удивительно и может быть получено с помощью других методов. Наиболее интересно применение формулы (11.109), которая может быть использована для улучшения результата, получаемого с помощью операторного метода для систем с синусоидальным входным сигналом, как это делалось в § 6.5.

Допустим, у {t) - синусоидальное решение, полученное с помощью метода эквивалентной передаточной функции, тогда соотношение (11.109) указывает на необходимость определения синусоидального решения е [t) =

= г (t) - у (t) сигнала на выходе нелинейности / (е (t)). Этот сигнал, будучи

G(s)

преобразован линейным блоком с передаточной функцией

Ll-I-G(s) J

даст

улучшенное решение у, {t) (рис. 7.6). Среднеквадратичная ошибка описанного выше решения оценивается формулой (11.110): ;

lbi-/ll=TIIi-ll. (11.111)

где у* (t) - точный (но не известный) выходной сигнал системы. Заметим, что если условие р << 0,5 не выполняется, то оценка, вероятно, малоприменима для практического использования. Для доказательства теоремы 11.11 цеобходимо построить подходящий оператор сжатия. Представим нелинейность / (е) в. виде

ne) = e + f,{e). (11.112)

По выражению (11.112) функциональное уравнение системы примет вид

y = U{r-y)]= [{г-у) + h {г-у)] = r-Sy-S [/, {г-у)\,

или после преобразований

y={g+ m~-rA-{g-S-W\h{r~y)\. (11.113)

Правая часть уравнения (11.113) определяет оператор Ш в пространстве Ж вида

Шу ={g + оУГ r+{g + ,)~1 [f, {г - у}] для всех гЖ. Тогда для любых двух элементов у- к у яз Ж \my-Wy4 = \\{g + rG[h{r-yi)-h{r-ym-На основании выражения (11.90) получим

II Шу1 - \\т + с)-> 11II h (г - Уг) ~-h{r~y.)\\. (11.114) Из выражения (11.101) видно, что

\иг{г-уг)~П1г~УМ\\У,-Уг\\. (11.115)

Следовательно,

1Шуг-Шу,\\т + )-\\\\уг~У2\] Я Ш является оператором сжатия, если

(-Ь)-с! = шах 4Щ~£к\<-

Так как Шу = If (г - у)], то теорема 11.11 доказана. Для дальнейшего ознакомления с применением теоремы о сжатых отображениях в случае управления системами стандартного вида с нелинейностями, не подчиняющимися обобщенному условию Липшица, заданному в виде уравнения (11.101), отошлем читателя к работе [791 *.

11.8. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

При .анализе систем управления, устойчивых в отсутствие входных воздействий, возникают две следующие проблемы: а) будет ли выходной сигнал ограничен при ограничении входного сигнала; б) будет ли система при воздействии входного сигнала устойчива.

* Хольцман в работе [79 ] показал, что теорема о сжатых отображениях не может быть применена к автономным системам для определения существования автоколебаний.

в этой главе приведены некоторые результаты по устойчивости систем управления при ограниченных входном и выходном сигналах (см. определения 11.1 и 11.2). Основные из них заключаются в следующем:

1. Для нестационарной линейной системы, если положение равновесия л: = О равномерно асимптотически устойчиво без входного сигнала, то (исключая некоторые тривиальные случаи) эта система устойчива в целом при ограниченных входном и выходном сигналах. Верно и обратное.

2. Для замкнутой системы управления, описываемой уравнением (11.26) с нестационарной линейной частью, если выполняется условие (11.28) и невозмущенная система равномерно асимптотически устойчива, то возмущенная система устойчива в малом при ограниченных входном и выходном сигналах (т. е. обеспечивается практическая устойчивость; см. теорему 11.3).

3. Если в замкнутой стационарной системе управления, характерной для задачи Попова, при отсутствии входного сигнала выходной сигнал асимптотически устойчив, то при ограниченном входном сигнале с ограниченной производной выходной сигнал также будет ограничен (см. теорему 11.5).

4. Для нелинейной системы вида (11.25), если начало координат невозмущенной системы равномерно асимптотически устойчиво, то система устойчива в малом при ограниченных входном и выходном сигналах.

Относительно вынужденного решения получены следующие результаты:

1. Если в линейной нестационарной системе при отсутствии входного сигнала начало координат равномерно асимптотически устойчиво, то вынужденное решение также равномерно асимптотически устойчиво (покажите это).

2. Если для нелинейной системы, линеаризованные уравнения которой имеют вид (11.26) при г [f) = О, вьшолняется условие (11.28) и начало координат невозмущенной системы равномерно асимптотически устойчиво, то решения исходной системы также равномерно асимптотически устойчивы (см. теорему 5.2).

3. Для замкнутой системы управления в стандартном виде, характерном для, задачи Попова в случае безынерционной нелинейности,вынужденнее решение будет устойчиво в смысле теоремы 11.7.

4. В периодической или автономной системе с известным периодическим решением периода Т, для определения устойчивости периодического решения часто может быть применена линеаризация в окрестности решения. Проблема, которая возникает здесь, заключается в нахождении собственных значений переходной матрицы, оцениваемой в момент + Т (см. теорему 11.8).

В дополнение к приведенным выше результатам вводятся два специальных способа: это неравенство Беллмана-Гренвилла (лемма 11.1) и теорема о неподвижной точке сжатого отображения (теорема 11.9). Их применение иллюстрируется примером 11.1 и теоремой 11.11.

Для получения результатов в этой главе широко применялись неравенства, и поэтому полученные результаты оказываются слишком общими.

Практическое значение понятия устойчивости при ограниченных входном и выходном сигналах оставляет желать лучшего, если истинные границы не могут бьггь установлены. Применение неравенств, к сожалению, в большинстве случаев дает слишком широкие границы области устойчивости. Отыскание многозначных границ открывает интересную область исследований.

Теоремы об устойчивости вынужденных решений наиболее полезны. Однако во многих случаях можно получить лишь информацию об устойчивости в малом. .