(которая на траектории л:* зависит только от и) принимает максимальное значение в каждой точке оптимальной траектории х*. Как будет показано в следующей главе, это утверждение является принципом максимума для частного случая задач, рассмотренных выше.

Поскольку на управление и не наложено ограничений, то можно найти и, беря частную производную величины Я (13.57), устремляя ее к 0. Это приводит к условию, аналогичному (13.476). Следовательно, найденное решение удовлетворяет также условию Вейерштрасса.

Заметим, когда Н принимает максимальное значение, то

что независимо от изложенного выше дает условие Лежандра (13.53). В действительности для класса задач, рассмотренных в этом параграфе, выполнение условия Вейерштрасса всегда означает и выполнение условия Лежандра.

13.3. ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫМ СОСТОЯНИЕМ. ЗАДАЧА МАЙЕРА

Довольно часто встречаются задачи, когда качество системы определяется требованиями, накладываемыми лишь на конечное состояние. Наи-. более характерная из таких задач - это задача наведения ракеты, когда минимальный промах является основной мерой качества таких систем.

Задача управления конечным состоянием тесно связана с классической задачей Майера в вариационном исчислении. В противоположность ей задача управления, рассмотренная в § 13.2, где показателем качества является интеграл вида (13.42), известна как задача Лагранжа

Попытаемся получить необходимые условия, связанные с задачей Майера, используя метод множителей Лагранжа (теорема 13.1).

Снова рассмотрим систему первого порядка вида ф {х, х, i) = О, которая начинает движение из точки х (ti) = аг и в течение заданного промежутка времени [/,/2 ] должна управляться так, чтобы минимизировать функцию g = Р (лга). При этом конечная точка х = х {t предполагается свободной.

Так как минимизируется не интеграл, то величина L, участвующая в методе множителей Лагранжа, тождественно равна нулю. Таким образом, можно считать, что настоящая задача эквивалентна задаче нахождения траектории х (t), которая удовлетворяет заданным граничным условиям и минимизирует некоторый эквивалентный показатель качества

fi = P W +\{t)4>(X, X, t)dt. (13.58)

Рассматривая вариации вида X (t) = x (t) + ет] (t) при т] (tj) = 0, находим, что

fi = P[x(/2) + ет](/2)l-f J(t)(p[x + 61]. x+6 (/), /]dt.

) Задачи Лагранжа и Майера могут быть преобразованы одна в другую (см. пример 13.15). Однако такие преобразования часто приводят к громоздким уравнениям, поэтому имеет смысл рассматривать эти задачи раздельно.

Полагая

уравнение Эйлера-Лагранжа

= О и интегрируя по частям (см, § 13.1), получим Лагранжа

дР(х) , ,

Г] (О

dLi {X. X, t)

(13.59)

= 0.

1 = {t) Ф (X, X, t), (13.60)

Так как величина т] {t произвольна, то получаем следующее условие трансверсальности:

дР{х)

dLi (х, х, t)

(13.61)

Совместно с условиями (13.59) и (13.61) должно выполняться также условие Вейерштрасса Е 0. С учетом выражений (13.31) и (13.60) найдем

Е = -i {t)(i) (X*, X, О - Ф (О Ф (х*, X*, t) - (х ~ х*) li) (t), (13.62)

Если имеется п переменных Xi.....х и п функций ф, фз, . . ., Ф ,

то можно определить п-мерные векторы л: и л; так, что ф (л:, л:, t), а Р является функцией конечного состояния х (t) = х. В этом случае первое необходимое условие оптимальности определяется совокупностью уравнений Эйлера-Лагранжа вида

dLi d I дЬх

\ dxi

= 0, i=l..... n.

Li = i; i{t)(pi(x, X, t).

(13.63a)

(13.636)

В дополнение к этим уравнениям имеется совокупность условий трансверсальности

t=ti

(13.64)

и условие Вейерштрасса

Е = hMi)Piix*.x,t)- i; я1,](/)ф, (х*, X*. /)- i; (xi~k) bit)- (13.65) t =i 1=1 , t=i

Если P явно зависит от t, т. е. конечный момент времени заранее не определен, то выражение (13.58) принимает вид

fi = P(X h)+\(ОФ(X, X, t)dt. (13.66)

Это означает, что возможна вариация t, обозначаемая через 62- Здесь можно использовать подход, изложенный в п. 5 § 13.1, ш определить условия трансверсальности в граничной точке следующим образом:

дР{х, t) J dLx

t=ti

6/2 +

дР{х,Л dLx

t=ti

6X2 = 0. (13.67)

вслучае п переменных условия трансверсальности запишутся так:

дР {X, t) dt

t=t..

dP(x,t). , dL,

дх,-

(13.68)

где блго,- есть i-я компонента вектора бл:а.

К рассмотренному классу задач можно отнести задачи оптимального быстродействия, о которых говорилось в-предыдущем параграфе Для

этого класса задач Р (х, = к f- = + (x, x, t) dt, где t,

неизвестно и должно быть найдено.

Для того чтобы не ошибиться при решении задачи оптимального быстродействия, отметим, что необходимые условия для этой задачи должны совпадать с условиями для-соответствующей задачи с фиксирова[нным временем, когда минимальное время равно конечному времени. Однако, если это так, то величина в фу,нк ционале/1 постоянная и не играет роли при отыскании минимума. Это означает, что необходимые условия для задачи оптимального

быстродействия, когда = /а + {Х, О должны быть теми же, что

и для задачи с фиксированным временем и функционалом = i ( *. *> О t-

Единственное различие заключается в условиях трансверсальности (13.68). В частности, если граничная точка х {t фиксирована, т. е. Ьх = О, то согласно выражению (13.68) можно получить для задачи оптимального быстродействия условие

= 1,

(13.69)

t=t.

когда x{t фиксировано.

Если = Xi - fi {х, и, t) = О, то выражение (13.69) сводится к виду

11 ii)Xi{t)-t iii)4>i{x, X, t)

Li=l i=l

i=<.

S b{i)fiix*, tt\ t)\tti= 1.

(13.70)

Действительно, если функция Li (ф, x, x,u) = Ц я]),- U,- - fi {x, u)]

явно не зависит от времени, то из выражений (13.18), (13.69) и (13.70) следует

(13.71)

это справедливо, когда / (л:, и) не зависит явно от времени.

S i)fi{,n*)=\; t.tt,;

Если необходимо учитывать ограничения, наложенные на управляющее воздействие, то следует воспользоваться методом Валентайна, изложенным в § 13.5.